Решение: В латунный калориметр массы 0,3 кг, содержащий 1 кг воды при 18 C, опускается

Условие задачи:

В латунный калориметр массы 0,3 кг, содержащий 1 кг воды при 18 °C, опускается кусок льда, взятый при температуре -8 °C. После того как весь лёд растаял, температура воды стала равной 10 °C. Найти массу опущенного в воду льда.

Задача №5.2.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=0,3\) кг, \(m_2=1\) кг, \(t_2=18^\circ\) C, \(t_3=-8^\circ\) C, \(t=10^\circ\) C, \(m_3-?\)

Решение задачи:

После опускания льда в воду в системе будет происходить теплообмен, в результате которого лёд растает, а температура воды (и калориметра) станет равной \(t\). Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} + {Q_2} = {Q_3} + {Q_4} + {Q_5}\]

Здесь:

\(Q_1\) — количество теплоты, отданное латунным калориметром массой \(m_1\) при охлаждении от температуры \(t_2\) до температуры \(t\);
\(Q_2\) — количество теплоты, отданное водой \(m_2\) при охлаждении от температуры \(t_2\) до температуры \(t\);
\(Q_3\) — количество теплоты, полученное льдом искомой массы \(m_3\) при нагревании от температуры \(t_3\) до температуры плавления \(t_п\) (\(t_п=0^\circ\) C);
\(Q_4\) — количество теплоты, необходимое для плавления льда массой \(m_3\);
\(Q_5\) — количество теплоты, полученное водой массой \(m_3\) (образованной при таянии льда) при нагревании от температуры плавления льда \(t_п\) до температуры \(t\).

Распишем все указанные количества теплот, тогда получим такое равенство:

\[{c_1}{m_1}\left( {{t_2} — t} \right) + {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — t} \right) = {c_3}{m_3}\left( {{t_п} — {t_3}} \right) + \lambda {m_3} + {c_2}{m_3}\left( {{t_3} — {t_п}} \right)\]

\[\left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right)\left( {{t_2} — t} \right) = {m_3}\left( {{c_3}\left( {{t_п} — {t_3}} \right) + \lambda + {c_2}\left( {{t_3} — {t_п}} \right)} \right)\]

В этом равенстве \(c_1\) — удельная теплоёмкость латуни, равная 380 Дж/(кг·°C); \(c_2\) — удельная теплоёмкость воды, равная 4200 Дж/(кг·°C); \(c_3\) — удельная теплоёмкость льда, равная 2100 Дж/(кг·°C); \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, равная 330 кДж/кг.

В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:

\[{m_3} = \frac{{\left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right)\left( {{t_2} — t} \right)}}{{{c_3}\left( {{t_п} — {t_3}} \right) + \lambda + {c_2}\left( {{t_3} — {t_п}} \right)}}\]

Подставив численные значения известных величин, посчитаем численный ответ к этой задаче:

\[{m_3} = \frac{{\left( {380 \cdot 0,3 + 4200 \cdot 1} \right)\left( {18 — 10} \right)}}{{2100 \cdot \left( {0 — \left( { — 8} \right)} \right) + 330 \cdot {{10}^3} + 4200 \cdot \left( {10 — 0} \right)}} = 0,089\;кг = 89\;г\]