Решение: В сосуд с водой объемом 0,25 л при 20 C поместили 50 г расплавленного свинца

Условие задачи:

В сосуд с водой объемом 0,25 л при 20 °C поместили 50 г расплавленного свинца с температурой 350 °C. Какая температура установится в результате теплообмена в сосуде? Удельные теплоёмкости расплава и твёрдого свинца считать одинаковыми.

Задача №5.2.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_1=0,25\) л, \(t_1=20^\circ\) C, \(m_2=50\) г, \(t_2=350^\circ\) C, \(t-?\)

Решение задачи:

Полностью аналогичная задача уже была представлена на сайте, правда в ней расплавленный свинец имел температуру 400 °C. Можете прорешать её после этой, дабы закрепить свои навыки.

В этой задаче нужно обязательно произвести оценку. Давайте для начала определим количество теплоты \(Q_1\), которое необходимо для нагревания воды массой \(m_1\) от температуры \(t_1\) до температуры кипения \(t_к\) (\(t_к=100^\circ\) C). Это можно сделать по следующей формуле:

\[{Q_1} = {c_1}{m_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right)\]

Удельная теплоёмкость воды \(c_1\) равна 4200 Дж/(кг·°C).

Массу \(m_1\) представим как произведение плотности воды \(\rho\) (она равна 1000 кг/м³) на объем \(V_1\), тогда:

\[{Q_1} = {c_1}\rho {V_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right)\]

Посчитаем численное значение \(Q_1\) (объем при расчете мы перевели в кубические метры):

\[{Q_1} = 4200 \cdot 1000 \cdot 0,25 \cdot {10^{ — 3}} \cdot \left( {100 — 20} \right) = 84000\;Дж\]

Так как температура расплавленного свинца \(t_2\) больше температуры его плавления \(t_п\) (\(t_п=327^\circ\) C), то определим количество теплоты \(Q_2\), выделяемое при охлаждении расплава свинца от температуры \(t_2\) до температуры \(t_п\).

\[{Q_2} = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_п}} \right)\]

Удельная теплоёмкость расплава свинца (и твёрдого свинца) \(c_2\) равна 130 Дж/(кг·°C).

\[{Q_2} = 130 \cdot 0,05 \cdot \left( {350 — 327} \right) = 149,5\;Дж\]

Количество теплоты \(Q_3\), выделяемое при кристаллизации свинца массой \(m_2\), определим по формуле:

\[{Q_3} = \lambda {m_2}\]

Удельная теплота кристаллизации (плавления) свинца \(\lambda\) равна 25 кДж/кг.

\[{Q_3} = 25 \cdot {10^3} \cdot 0,05 = 1250\;Дж\]

Количество теплоты \(Q_4\), выделяемое при охлаждении свинца массой \(m_2\) от температуры \(t_п\) до температуры \(t_к\), равно:

\[{Q_4} = {c_2}{m_2}\left( {{t_п} — {t_к}} \right)\]

\[{Q_4} = 130 \cdot 0,05 \cdot \left( {327 — 100} \right) = 1475,5\;Дж\]

Видно, что \({Q_1} > {Q_2} + {Q_3} + {Q_4}\), значит температура теплового равновесия будет лежать в пределах от \(t_1\) до \(t_к\). Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_5} = {Q_2} + {Q_3} + {Q_6}\]

Здесь \(Q_5\) — количество теплоты, необходимое для нагревания воды массой \(m_1\) от температуры \(t_1\) до температуры \(t\); \(Q_6\) — количество теплоты, выделяемое при охлаждении свинца массой \(m_2\) от температуры \(t_п\) до температуры \(t\). Тогда:

\[{c_1}{m_1}\left( {t — {t_1}} \right) = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_п}} \right) + \lambda {m_2} + {c_2}{m_2}\left( {{t_п} — t} \right)\]

\[{c_1}{m_1}\left( {t — {t_1}} \right) = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — t} \right) + \lambda {m_2}\]

Раскроем скобки:

\[{c_1}{m_1}t — {c_1}{m_1}{t_1} = {c_2}{m_2}{t_2} — {c_2}{m_2}t + \lambda {m_2}\]

Все члены с множителем \(t\) перенесем в левую сторону, вынесем его за скобки, остальные перенесем в правую.

\[t\left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right) = {c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2}\]

\[t = \frac{{{c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2}}}{{{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}}}\]

Массу \(m_1\) представим как произведение плотности воды \(\rho\) на объем \(V_1\), как это уже было сделано выше:

\[t = \frac{{{c_1}\rho {V_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2}}}{{{c_1}\rho {V_1} + {c_2}{m_2}}}\]

Переведём некоторые величины в систему СИ:

\[0,25\;л = 0,25 \cdot {10^{ — 3}}\;м^3\]

\[50\;г = 0,05\;кг\]

Численно температура \(t\) равна:

\[t = \frac{{4200 \cdot 1000 \cdot 0,25 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 20 + 130 \cdot 0,05 \cdot 350 + 25 \cdot {{10}^3} \cdot 0,05}}{{4200 \cdot 1000 \cdot 0,25 \cdot {{10}^{ — 3}} + 130 \cdot 0,05}} = 23,2^\circ\;C = 296,7\;К\]