Решение: В сосуде объемом 100 л при 27 C находится воздух с относительной влажностью 30%

Условие задачи:

В сосуде объемом 100 л при 27° C находится воздух с относительной влажностью 30%. Какой станет относительная влажность, если в сосуд внесли 1 г воды? Давление насыщенных паров воды при 27° C — 3,55 кПа.

Задача №4.4.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=100\) л, \(t=27^\circ\) C, \(\varphi_1=30\%\), \(m=1\) г, \(p_н=3,55\) кПа, \(\varphi_2-?\)

Решение задачи:

Относительную влажность воздуха \(\varphi\) определяют как отношение давления водяных паров при данной температуре к давлению насыщенных водяных паров при той же температуре:

\[\varphi = \frac{p}{{{p_н}}}\]

Откуда видно, что давление пара \(p\) при одной и той же температуре зависит только от относительной влажности \(\varphi\), поскольку давление насыщенных паров \(p_н\) постоянно при одной температуре.

\[p = \varphi {p_н}\]

Допустим, что водяной пар всегда будет ненасыщенным. Учитывая вышенаписанное, запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для моментов до и после внесения воды (точнее после испарения внесённой воды):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\varphi _1}{p_н}V = \frac{{{m_0}}}{M}RT \;\;\;\;(1)\hfill \\
{\varphi _2}{p_н}V = \frac{{{m_0} + m}}{M}RT \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее:

\[\frac{{{\varphi _2}}}{{{\varphi _1}}} = \frac{{{m_0} + m}}{{{m_0}}}\]

\[{\varphi _2} = {\varphi _1}\left( {1 + \frac{m}{{{m_0}}}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Начальную массу водяного пара \(m_0\) определим из уравнения (1):

\[{m_0} = \frac{{{\varphi _1}{p_н}VM}}{{RT}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (2):

\[{\varphi _2} = {\varphi _1}\left( {1 + \frac{{mRT}}{{{\varphi _1}{p_н}VM}}} \right)\]

Задача решена в общем виде. Переведем некоторые величины в систему СИ и посчитаем ответ:

\[100\;л = 0,1\;м^3\]

\[27^\circ\;C = 300\;К\]

\[30\% = 0,3\]

\[1\;г = {10^{ — 3}}\;кг\]

\[{\varphi _2} = 0,3\left( {1 + \frac{{{{10}^{ — 3}} \cdot 8,31 \cdot 300}}{{0,3 \cdot 3,55 \cdot {{10}^3} \cdot 0,1 \cdot 0,018}}} \right) = 0,69 = 69\% \]