Условие задачи:
В закрытом с обоих концов цилиндре длиной 2 м поршень соединён с днищами пружинами одинаковой жесткости 1500 Н/м. Вначале цилиндр откачан, пружины находятся в ненапряженном состоянии, а поршень — в середине цилиндра. На какое расстояние переместится поршень, если в одну из частей цилиндра ввести 28 г азота при 273 К?
Задача №4.2.102 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
L=2 м, k=1500 Н/м, m=28 г, T=273 К, x−?
Решение задачи:
Поскольку изначально пружины были не напряжены, то по сути нам необходимо найти деформацию пружин x, ведь именно на такую же величину переместится поршень. Обе пружины деформируются на одну и ту же величину, разве что одна растягивается (если в тот объем цилиндра, где находилась эта пружина, был введён азот), а другая — сжимается. Обратите внимание на схеме, куда направлены силы упругости у каждой пружины.
Запишем условие равновесия поршня (первый закон Ньютона) после введения азота (смотрите схему):
pS=2kx(1)
Азот в конце займёт следующий объем:
V=S(L2+x)(2)
Применим уравнение Клапейрона-Менделеева для азота:
pV=mMRT
Молярная масса азота M равна 0,028 кг/моль.
Учитывая выражение (2), получим:
pS(L2+x)=mMRT
Выразим отсюда произведение pS:
pS=2mRTM(L+2x)
Тогда равенство (1) примет вид:
2mRTM(L+2x)=2kx
mRTM(L+2x)=kx
Запишем это равенство в виде квадратного уравнения относительно x:
x(L+2x)=mRTkM
2x2+Lx—mRTkM=0
Определим дискриминант:
D=L2+8mRTkM
Тогда искомая величина x равна:
x=—L±√L2+8mRTkM4
Очевидно, что решение, где перед квадратным корнем стоит знак «минус», будет отрицательным, поэтому его можно отбросить.
x=—L+√L2+8mRTkM4
x=—L4+√L216+mRT2kM
Переведём массу в систему СИ и посчитаем ответ:
28г=0,028кг
x=—24+√2216+0,028⋅8,31⋅2732⋅1500⋅0,028=0,5м
Ответ: 0,5 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
4.2.101 В сосуд, на дне которого лежит твердый шар, нагнетают воздух при температуре 27 C
4.2.103 Тонкостенный резиновый шар собственным весом 0,6 Н наполнен неоном и погружен в озеро
4.2.104 Давление воздуха в сосуде равно 102,4 кПа. Вместимость цилиндра разрежающего насоса
