Решение: Во сколько раз изменятся тепловые потери в линии электропередачи при увеличении напряжения

Условие задачи:

Во сколько раз изменятся тепловые потери в линии электропередачи при увеличении напряжения в линии с 11 до 110 кВ при условии передачи одинаковой мощности?

Задача №7.4.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U_1=11\) кВ, \(U_2=110\) кВ, \(P_1=P_2\), \(\frac{Q_1}{Q_2}-?\)

Решение задачи:

Так как даже при увеличении напряжения мощность будет передаваться одна и та же, то есть \(P_1=P_2\), то очевидно, что имеет место равенство:

\[{U_1}{I_1} = {U_2}{I_2}\]

Откуда найдем отношение тока \(I_1\) к току \(I_2\):

\[\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\;\;\;\;(1)\]

По закону Джоуля-Ленца количество теплоты \(Q\), выделяемое проводником с током, равно произведению квадрата силы тока \(I\), сопротивления проводника \(R\) и времени прохождения тока \(t\), поэтому:

\[\left\{ \begin{gathered}
{Q_1} = I_1^2Rt \hfill \\
{Q_2} = I_2^2Rt \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда искомое отношение \(\frac{Q_1}{Q_2}\) равно:

\[\frac{{{Q_1}}}{{{Q_2}}} = {\left( {\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right)^2}\]

Учитывая (1), получим:

\[\frac{{{Q_1}}}{{{Q_2}}} = {\left( {\frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}} \right)^2}\]

\[\frac{{{Q_1}}}{{{Q_2}}} = {\left( {\frac{{110 \cdot {{10}^3}}}{{11 \cdot {{10}^3}}}} \right)^2} = 100\]

Так как мы нашли отношение начального выделяемого количества теплоты к конечному, значит тепловые потери уменьшились в 100 раз.