Решение: Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение

Условие задачи:

Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, превышает период обращения спутника на околоземной орбите?

Задача №2.5.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h=R\), \(\frac{T_2}{T_1}-?\)

Решение задачи:

Найдем период обращения \(T_2\) спутника, движущегося по круговой орбите на высоте \(h=R\). Понятно, что сила всемирного тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

\[{F_{т2}} = m{a_{ц2}}\;\;\;\;(1)\]

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

\[{F_{т2}} = G\frac{{Mm}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\;\;\;\;(2)\]

Чтобы в нашей формуле фигурировал период обращения, нужно выразить через него центростремительное ускорение \(a_{ц2}\). Для этого запишем формулу определения ускорения \(a_{ц2}\) через угловую скорость и формулу связи последней с периодом.

\[{a_{ц2}} = {\omega ^2}\left( {R + h} \right)\]

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T_2}\]

Тогда:

\[{a_{ц2}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{T_2^2}\left( {R + h} \right)\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1):

\[G\frac{{Mm}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}m\left( {R + h} \right)}}{{{T_2^2}}}\]

\[G\frac{M}{{4{\pi ^2}{{\left( {R + h} \right)}^3}}} = \frac{1}{{{T_2^2}}}\]

\[T_2 = 2\pi \sqrt {\frac{{{{\left( {R + h} \right)}^3}}}{{GM}}}\;\;\;\;(4)\]

Проведем аналогию для спутника, движущегося по околоземной орбите. Понятно, что его период обращения будет равен:

\[{T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}\]

Теперь подставим в формулу определения периода \(T_2\) (в формулу (4)) условие \(h=R\):

\[{T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{{{{\left( {R + R} \right)}^3}}}{{GM}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{8{R^3}}}{{GM}}} \]