Условие задачи:

Воздушный шар имеет легкорастяжимую теплоизолированную оболочку массой 130 кг, которая была заполнена 65 кг воздуха при атмосферных давлении и температуре. На сколько градусов нужно нагреть воздух внутри шара, чтобы он взлетел? Температура окружающей среды 0° C.

Задача №4.2.78 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$m_{об}=130$ кг, $m=65$ кг, $t_0=0^\circ$ C, $\Delta T-?$

Решение задачи:

Шар взлетит, когда сила Архимеда станет равной силе тяжести, т.е выполнится условие плавания тел:

$${F_А} = \left( {{m_{об}} + m} \right)g$$

Выталкивающая сила $F_А$ равна произведению плотности окружающего воздуха $\rho$, ускорения свободного падения $g$ и объема воздушного шара $V$.

$${F_А} = \rho gV$$

Поэтому:

$$\rho gV = \left( {{m_{об}} + m} \right)g$$

$$\rho V = {m_{об}} + m\;\;\;\;(1)$$

Теперь запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для окружающего воздуха и воздуха внутри шара. Давление воздуха внутри шара равно давлению окружающего воздуха, т.е. атмосферному давлению $p_0$, так как оболочка шара является легкорастяжимой.

$$\left\{ \begin{gathered} {p_0}{V_1} = \frac{{{m_1}}}{M}R{T_0} \;\;\;\;(2)\hfill \\ {p_0}V = \frac{m}{M}R\left( {{T_0} + \Delta T} \right) \;\;\;\;(3)\hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Обе части уравнения (2) разделим на некоторый объем $V_1$. Учитывая, что отношение массы $m_1$ к объему $V_1$ равно плотности окружающего воздуха $\rho$, получим:

$${p_0} = \frac{\rho }{M}R{T_0}$$

Выразим плотность окружающего воздуха $\rho$:

$$\rho  = \frac{{{p_0}M}}{{R{T_0}}}$$

Из уравнения (3) выразим объем шара $V$:

$$V = \frac{{mR\left( {{T_0} + \Delta T} \right)}}{{{p_0}M}}$$

Полученные выражения для плотности $\rho$ и объема шара $V$ подставим в формулу (1):

$$\frac{{{p_0}M}}{{R{T_0}}} \cdot \frac{{mR\left( {{T_0} + \Delta T} \right)}}{{{p_0}M}} = {m_{об}} + m$$

$$\frac{{m\left( {{T_0} + \Delta T} \right)}}{{{T_0}}} = {m_{об}} + m$$

$$m\left( {1 + \frac{{\Delta T}}{{{T_0}}}} \right) = {m_{об}} + m$$

$$m + m\frac{{\Delta T}}{{{T_0}}} = {m_{об}} + m$$

$$m\frac{{\Delta T}}{{{T_0}}} = {m_{об}}$$

$$\Delta T = {T_0}\frac{{{m_{об}}}}{m}$$

Переведем температуру в систему СИ:

$$0^\circ\;C  = 273\;К$$

Посчитаем ответ:

$$\Delta T = 273\frac{{130}}{{65}} = 546\;К = 546^\circ\;C$$

Помните, что изменение температуры выражается одним и тем же числом, что в шкале Кельвина, что в шкале Цельсия!

Ответ: 546° C.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.2.77 Насос захватывает при каждом качании 1 л воздуха при нормальных условиях и нагнетает
4.2.79 В некотором процессе давление и объем идеального газа связаны соотношением
4.2.80 Какой радиус должен иметь наполненный гелием воздушный шар, чтобы он мог подняться