Решение: Высота солнца над горизонтом 60°. Высота непрозрачного сосуда 25 см. На сколько

Условие задачи:

Высота солнца над горизонтом 60°. Высота непрозрачного сосуда 25 см. На сколько изменится длина тени на дне сосуда при освещении его солнечными лучами, если в сосуд налить воду до высоты 20 см?

Задача №10.3.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\gamma=60^\circ$ , $H=25$ см, $h=20$ см, $\Delta L-?$

Решение задачи:

Если посмотреть на рисунок к задаче, то видно, что длину тени $L_1$ в пустом сосуде можно найти по формуле:

${L_1} = H \cdot ctg\gamma\;\;\;\;(1)$

Далее сосуд наполняют водой. Из-за того, что луч при переходе из воздуха в воду претерпевает преломление, то длина тени теперь будет короче (см. рисунок к задаче). При этом длину тени на дне сосуда можно определить как сумму:

$L = {l_1} + {l_2}\;\;\;\;(2)$

При этом из прямоугольных треугольников можно найти длины $l_1$ и $l_2$ по следующим формулам:

$\left\{ \begin{gathered} {l_1} = \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma \hfill \\ {l_2} = h \cdot tg\beta \hfill \\ \end{gathered} \right.$

То есть формула (1) примет вид:

${L_2} = \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma + h \cdot tg\beta\;\;\;\;(2)$

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

${n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — угол падения и угол преломления соответственно, $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_1$ равен 1, показатель преломления воды $n_2$ равен 1,33.

Так как из рисунка хорошо видно, что $\alpha = 90^\circ — \gamma$ , то:

${n_1}\sin \left( {90^\circ — \gamma } \right) = {n_2}\sin \beta$

Поскольку $\sin \left( {90^\circ — \gamma } \right) = \cos \gamma$ , имеем:

${n_1}\cos \gamma = {n_2}\sin \beta$

Тогда:

$\sin \beta = \frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}$

$\beta = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)$

Полученное выражение подставим в формулу (2), тогда:

${L_2} = \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma + h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)} \right)$

Очевидно, что изменение длины тени следует искать по формуле:

$\Delta L = {L_1} — {L_2}$

Учитывая выражения (1) и (3), имеем:

$\Delta L = H \cdot ctg\gamma — \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma + h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)} \right)$

$\Delta L = h \cdot ctg\gamma — h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)} \right)$

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

$\Delta L = 0,2 \cdot ctg60^\circ — 0,2 \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{1 \cdot \cos 60^\circ }}{{1,33}}} \right)} \right) = 0,0343\;м = 3,43\;см$