Решение: За какой промежуток времени маятник, совершающий гармонические колебания

Условие задачи:

За какой промежуток времени маятник, совершающий гармонические колебания по закону синуса, отклонится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний 6 с, начальная фаза равна нулю.

Задача №9.1.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(x=\frac{A}{2}\), \(T=6\) с, \(\varphi_0=0\), \(t-?\)

Решение задачи:

Если точка совершает гармонические колебания по закону синуса, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний, \(\varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Учитывая, что начальная фаза колебаний равна нулю (\(\varphi_0=0\)), то можно записать уравнение ещё проще:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\]

Так как нам нужно определить время, за который маятник отклонится от положения равновесия на половину амплитуды, то нам нужно решить уравнение \(x=\frac{A}{2}\). Имеем:

\[\frac{A}{2} = A\sin \left( {\omega t} \right)\]

\[\sin \left( {\omega t} \right) = \frac{1}{2}\]

Вообще, это уравнение имеет бесконечное множество корней. Решать его строго математически мы не будет, нас интересует только самый первый положительный корень. Синус равен 1/2, когда его аргумент равен \(\frac{\pi}{6}\):

\[\omega t = \frac{\pi }{6}\;\;\;\;(1)\]

Циклическая частота колебаний \(\omega\) и период колебаний \(T\) связаны по известной формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

Тогда уравнение (1) примет вид:

\[\frac{{2\pi t}}{T} = \frac{\pi }{6}\]

\[\frac{t}{T} = \frac{1}{{12}}\]

\[t = \frac{T}{{12}}\]

\[t = \frac{6}{{12}} = 0,5\;с\]