Решение: Чему равен предельный угол полного внутреннего отражения светового луча на границе

Условие задачи:

Чему равен предельный угол полного внутреннего отражения светового луча на границе раздела двух сред, скорости света в которых равны 10⁸ и 2·10⁸ м/с?

Задача №10.4.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_1=10^8\) м/с, \(\upsilon_2=2 \cdot 10^8\) м/с, \(\alpha_{пр}-?\)

Решение задачи:

Показатель преломления данной среды относительно вакуума называется абсолютным показателем преломления данной среды \(n\), его можно определить как отношение скорости света в вакууме \(c\), равной 3·10⁸ м/с, к скорости света в данной среде \(\upsilon\):

\[n = \frac{c}{\upsilon}\;\;\;\;(1)\]

Из этой формулы можно сделать вывод, что раз \({\upsilon_2} > {\upsilon_1}\), значит \({n_2} < {n_1}\), то есть явление полного внутреннего отражения будет наблюдаться при переходе света из среды 1 в среду 2.

Запишем формулу (1) для обеих сред, это пригодится в дальнейшем решении:

\[\left\{ \begin{gathered}
{n_1} = \frac{c}{{{\upsilon _1}}} \hfill \\
{n_2} = \frac{c}{{{\upsilon _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения при переходе светового луча из среды 1 в среду 2:

\[{n_1}\sin \alpha_{пр} = {n_2}\sin \beta\]

Здесь \(\alpha_{пр}\) — предельный угол полного внутреннего отражения, \(\beta\) — угол преломления, равный в данном случае 90°, \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления сред. Тогда, так как \(\sin \beta = 1\):

\[{n_1}\sin {\alpha _{пр}} = {n_2}\]

\[\sin {\alpha _{пр}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\]

\[{\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}} \right)\]

Учитывая систему, записанную выше, имеем:

\[{\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{{{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _2}}}} \right)\]

Задача решена, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[{\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{{{{10}^8}}}{{2 \cdot {{10}^8}}}} \right) = 30^\circ \]