Условие задачи:

Давление воздуха в сосуде равно 102,4 кПа. Вместимость цилиндра разрежающего насоса в три раза меньше внутреннего объема сосуда. Какое давление установится в сосуде после трех ходов поршня? Изменением температуры пренебречь.

Задача №4.2.104 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(p_0=102,4\) кПа, \(V_н=\frac{V}{3}\), \(N=3\), \(T=const\), \(p-?\)

Решение задачи:

Если изменением температуры можно пренебречь, значит над воздухом совершается изотермический процесс \(\left( {T = const} \right)\). Изначально воздух занимает объем сосуда \(V\). После того, как откроется клапан, воздух займет объем, равный \(\left( {V + {V_н}} \right)\). Очевидно, что давление воздуха упадёт. Запишем закон Бойля-Мариотта:

\[{p_0}V = {p_1}\left( {V + {V_н}} \right)\]

Откуда давление воздуха \(p_1\) после одного хода поршня равно:

\[{p_1} = {p_0}\frac{V}{{V + {V_н}}}\;\;\;\;(1)\]

Теперь давление воздуха в сосуде равно \(p_1\). Опять произойдёт открытие клапана, и объем, занимаемый воздухом, увеличится, значит давление опять уменьшится. Также запишем закон Бойля-Мариотта:

\[{p_1}V = {p_2}\left( {V + {V_н}} \right)\]

\[{p_2} = {p_1}\frac{V}{{V + {V_1}}}\]

Подставим в последнюю формулу выражение (1), тогда:

\[{p_2} = {p_0}{\left( {\frac{V}{{V + {V_н}}}} \right)^2}\]

Из этой формулы видно, что давление воздуха в сосуде после \(N\) ходов поршня можно определять по формуле:

\[{p_N} = {p_0}{\left( {\frac{V}{{V + {V_н}}}} \right)^N}\]

Таким образом, после трёх ходов поршня (\(N=3\)) давление в сосуде можно находить по формуле:

\[{p_3} = {p_0}{\left( {\frac{V}{{V + {V_н}}}} \right)^3}\]

Так как в условии говорится, что объем цилиндра разрежающего насоса \(V_н\) в три раза меньше внутреннего объема сосуда \(V\) (\(V_н=\frac{V}{3}\)), то имеем:

\[{p_3} = {p_0}{\left( {\frac{V}{{\frac{4}{3}V}}} \right)^3} = {p_0}{\left( {\frac{{3V}}{{4V}}} \right)^3}\]

\[{p_3} = \frac{{27}}{{64}}{p_0}\]

Численный ответ равен:

\[{p_3} = \frac{{27}}{{64}} \cdot 102,4 \cdot {10^3} = 43,2 \cdot {10^3}\;Па = 43,2\;кПа\]

Ответ: 43,2 кПа.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.2.103 Тонкостенный резиновый шар собственным весом 0,6 Н наполнен неоном и погружен в озеро
4.2.105 Компрессор всасывает в 1 мин 3 м3 сухого воздуха при температуре 290 К и давлении 100 кПа
4.2.106 Давление воздуха в сосуде 97 кПа. После трёх ходов откачивающего поршневого насоса