Решение: Девять нагревательных элементов с сопротивлением 1 Ом каждый соединены

Условие задачи:

Девять нагревательных элементов с сопротивлением 1 Ом каждый соединены по три последовательно в три параллельные ветви. ЭДС источника 10 В, внутреннее сопротивление 1 Ом. Какая мощность выделяется во внешней цепи?

Задача №7.4.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_0=1\) Ом, \(N_1=3\), \(N_2=3\), \(\rm E=10\) В, \(r=1\) Ом, \(P-?\)

Решение задачи:

Мощность \(P\), выделяемую во внешней цепи, можно найти по следующей формуле:

\[P = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]

При этом силу тока \(I\) во внешней цепи, очевидно, будем определять по закону Ома для полной цепи:

\[I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\;\;\;\;(2)\]

Подставив (2) в (1), получим:

\[P = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}\;\;\;\;(3)\]

Здесь \(R\) — это полное сопротивление внешней цепи. Чтобы её определить, сначала найдём сопротивление одной ветви, которое можно найти как сопротивление \(N_1\) последовательно соединенных проводников сопротивлением \(R_0\), т.е. вот так:

\[{R_1} = {N_1}{R_0}\;\;\;\;(4)\]

Тогда полное сопротивление внешней цепи \(R\) можно найти как сопротивление \(N_2\) параллельно соединенных проводников сопротивлением \(R_1\) по следующей известной формуле:

\[R = \frac{{{R_1}}}{{{N_2}}}\;\;\;\;(5)\]

Подставим выражение (4) в формулу (5):

\[R = {R_0}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}\]

Осталось только полученное выражение подставить в формулу (3):

\[P = \frac{{{{\rm E}^2}{R_0}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}}}{{{{\left( {{R_0}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} + r} \right)}^2}}}\]

\[P = \frac{{{{\rm E}^2}{R_0}{N_1}{N_2}}}{{{{\left( {{R_0}{N_1} + r{N_2}} \right)}^2}}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[P = \frac{{{{10}^2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3}}{{{{\left( {1 \cdot 3 + 1 \cdot 3} \right)}^2}}} = 25\;Вт\]