Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 44,8 м/с

Условие задачи:

Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 44,8 м/с, упало на Землю, если сила сопротивления воздуха не зависела от скорости и составляла в среднем 1/7 часть силы тяжести?

Задача №2.1.55 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_0=44,8\) м/с, \(F_{с}=\frac{1}{7}mg\), \(t-?\)

Решение задачи:

Искомое время полета \(t\) складывается из времени полета вверх \(t_1\) и времени полета вниз \(t_2\). Неверно думать, что \(t_1\) и \(t_2\) равны друг другу! Дело в том, что в этом примере имеется сила сопротивления, которая вносит свои коррективы.

\[t = {t_1} + {t_2}\;\;\;\;(1)\]

Рассмотрим движение тела вверх. В этом случае сила тяжести \(mg\) и сила сопротивления \(F_{с}\) сонаправлены. Из второго закона Ньютона следует:

\[mg + {F_{с}} = ma_1\]

Так как по условию \(F_{с}=\frac{1}{7}mg\), то:

\[mg + \frac{1}{7}mg = m{a_1}\]

\[{a_1} = \frac{8}{7}g\]

Чтобы найти время \(t_1\), запишем формулу скорости для равнозамедленного движения:

\[\upsilon  = {\upsilon _0} – {a_1}t\]

В наивысшей точке полета, которую тело достигнет через время \(t_1\), скорость тела равна нулю (\(\upsilon=0\)), поэтому:

\[\upsilon  = 0 \Rightarrow {\upsilon _0} – {a_1}{t_1} = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{{\upsilon _0}}}{{{a_1}}}\]

\[{t_1} = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{8g}}\;\;\;\;(2)\]

Воспользуемся следующей формулой, чтобы найти высоту подъема:

\[{\upsilon ^2} – \upsilon _0^2 =  – 2{a_1}H\]

\[\upsilon  = 0 \Rightarrow \upsilon _0^2 = 2{a_1}H\]

\[H = \frac{{\upsilon _0^2}}{{2{a_1}}} = \frac{{7\upsilon _0^2}}{{2 \cdot 8g}} = \frac{{7\upsilon _0^2}}{{16g}}\]

Теперь рассмотрим движение тела вниз. В этом случае сила тяжести \(mg\) и сила сопротивления \(F_{с}\) противоположно направлены. Аналогично, из второго закона Ньютона следует:

\[mg – {F_с} = m{a_2}\]

\[mg – \frac{1}{7}mg = m{a_2}\]

\[{a_2} = \frac{6}{7}g\]

Тело будет падать с высоты \(H\) без начальной скорости с ускорением \(a\), поэтому верна следующая формула:

\[H = \frac{{{a_2}t_2^2}}{2}\]

Отсюда нужное нам время \(t_2\) равно:

\[{t_2} = \sqrt {\frac{{2H}}{{{a_2}}}} \]

\[{t_2} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 7\upsilon _0^2 \cdot 7}}{{16g \cdot 6g}}}  = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{4\sqrt 3 g}}\;\;\;\;(3)\]

Формулы (2) и (3) вносим в (1):

\[t = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{8g}} + \frac{{7{\upsilon _0}}}{{4\sqrt 3 g}} = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{4g}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\]

Полное время полета равно:

\[t = \frac{{7 \cdot 44,8}}{{4 \cdot 10}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 8,45\; с\]

Ответ: 8,45 с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.1.54 Троллейбус, масса которого 12 т, трогаясь с места, за 5 с проходит по горизонтальному
2.1.56 Чтобы на неподвижном блоке поднимать равномерно груз, требуется усилие 270 Н
2.1.57 На гладкой доске лежат два тела массами 2 и 3 кг, соединенные легкой нерастяжимой