Гирька массой 0,05 кг, привязанная к нити длиной 0,26 м, описывает в горизонтальной

Условие задачи:

Гирька массой 0,05 кг, привязанная к нити длиной 0,26 м, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Каким должен быть период вращения, чтобы сила натяжения нити не превышала 1,96 Н?

Задача №2.4.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,05\) кг, \(L=0,26\) м, \({T_н} \leq 1,96\) Н, \(T-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи На гирьку действуют две силы: сила тяжести \(mg\) и сила натяжения \(T_н\), над действием которых гирька совершает в горизонтальной плоскости движение по окружности с некоторым радиусом \(R\) и центростремительным ускорением \(a_ц\), при этом нить составляет с вертикалью некоторый угол \(\alpha\) (смотрите схему).

Рассмотрим векторный треугольник, получившийся при сложении всех действующих на гирьку сил (опять посмотрите схему). Понятно, что этот треугольник – прямоугольный, поэтому согласно теореме Пифагора справедливо следующее равенство:

\[T_н^2 = {m^2}a_ц^2 + {m^2}{g^2}\;\;\;\;(1)\]

Отлично, теперь из этого же векторного треугольника получим выражение для нахождения тангенса угла \(\alpha\):

\[tg\alpha = \frac{{m{a_ц}}}{{mg}}\]

\[tg\alpha = \frac{{{a_ц}}}{g}\;\;\;\;(2)\]

Как было уже сказано, гирька, подвешенная на нити длиной \(L\), движется по окружности с некоторым радиусом \(R\), при этом нить составляет с вертикалью некоторый угол \(\alpha\). Пусть \(l\) – расстояние от точки подвеса нити до плоскости вращения гирьки. Рассмотрим ещё один прямоугольный треугольник (смотрите схему), из которого также найдём выражение для тангенса угла \(\alpha\):

\[tg\alpha = \frac{R}{l}\]

Расстояние \(l\) найдём, применив второй раз теорему Пифагора:

\[l = \sqrt {{L^2} – {R^2}} \]

Тогда:

\[tg\alpha = \frac{R}{{\sqrt {{L^2} – {R^2}} }}\;\;\;\;(3)\]

Приравняем (2) и (3):

\[\frac{{{a_ц}}}{g} = \frac{R}{{\sqrt {{L^2} – {R^2}} }}\]

Возведём обе части в квадрат и выразим из получившегося равенства \(g^2\):

\[\frac{{a_ц^2}}{{{g^2}}} = \frac{{{R^2}}}{{{L^2} – {R^2}}}\]

\[{g^2} = a_ц^2\frac{{{L^2} – {R^2}}}{{{R^2}}}\]

Полученное подставим в (1):

\[T_н^2 = {m^2}a_ц^2 + {m^2}a_ц^2\frac{{{L^2} – {R^2}}}{{{R^2}}}\]

\[T_н^2 = {m^2}a_ц^2\frac{{{L^2}}}{{{R^2}}}\]

\[{T_н} = m{a_ц}\frac{L}{R}\;\;\;\;(4)\]

Формулу для определения центростремительного ускорения гирьки запишем через угловую скорость вращения \(\omega\):

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\;\;\;\;(5)\]

Формула связи угловой скорости и периода вращения выглядит так:

\[\omega  = \frac{{2\pi }}{T}\;\;\;\;(6)\]

Подставим выражение (6) в формулу (5), тогда:

\[{a_ц} = \frac{{4{\pi ^2}R}}{{{T^2}}}\]

Полученное подставим в (4), в итоге:

\[{T_н} = \frac{{4{\pi ^2}mL}}{{{T^2}}}\]

Задача почти решена, осталось совсем немного. В задаче дано условие, что \({T_н} \leq {T_{нм}}\), где \({T_{нм}}\) – максимальная сила натяжения нити, равная 1,96 Н. Мы получим такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_н} = \frac{{4{\pi ^2}mL}}{{{T^2}}} \hfill \\
{T_н} \leq {T_{нм}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Откуда:

\[{T_{нм}} \geq \frac{{4{\pi ^2}mL}}{{{T^2}}}\]

\[{T^2} \geq \frac{{4{\pi ^2}mL}}{{{T_{нм}}}}\]

\[T \geq \sqrt {\frac{{4{\pi ^2}mL}}{{{T_{нм}}}}} \]

\[T \geq 2\pi \sqrt {\frac{{mL}}{{{T_{нм}}}}} \]

Минимальный период вращения, при котором сила натяжения не будет превышать \({T_{нм}}\), соответствует случаю равенства:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{{mL}}{{{T_{нм}}}}} \]

Подставим данные задачи и посчитаем ответ:

\[T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt {\frac{{0,05 \cdot 0,26}}{{1,96}}}  = 0,51\; с\]

Ответ: 0,51 с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.4.3 Автомобиль массой 5 т движется с постоянной по модулю скоростью 10 м/с
2.4.5 Гиря массой 100 г равномерно вращается на нити в вертикальной плоскости
2.4.6 Горизонтально расположенный диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси

Пожалуйста, поставьте оценку
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 12
  1. Аноним

    Натяжение нити зависит от угла(!!). В задаче угол не дан…
    Потому период зависит от угла…

    T_н sin(a) – m omega^2 R = 0
    T_н cos(a) – mg = 0

    omega = 2 pi / T
    R = L sin(a)

    T_н sin(a) = m (2 pi/T)^2 L sin(a)
    Т_н = mg/cos(a) < T_н,max (!!!!)

    T^2 = m L (2 pi)^2 / T_н
    T^2 = L (2 pi)^2 / g * cos(a)

    ;-)

  2. Аноним

    Замечание №2
    При таком расположении сил (как на рисунке) система не будет находиться в равновесии. Здесь надо указывать ЦЕНТРОБЕЖНУЮ СИЛУ.

    ;-)

  3. Аноним

    Неее… халтура!… а где в задаче говорится, что нить находится под углом к вертикали???
    Решена совсем другая задача!!!

    ;-)

  4. Аноним

    …а чего так длинно?… :x

  5. Аноним

    После подставления g^2 в (1) куда-то пропало -R^2.
    Вопрос: Куда? Сократилось как-то?

    1. Аноним

      Всё… Понято… Не увидел вынесение множителя….

  6. Александр

    Кстати, второе замечание – чтобы сила натяжения не превышала, надо чтобы период был больше чем 0,51. То есть, например, период равный паре суток вполне подходит. :). Либо “каким должен быть минимальный период вращения”, либо сила натяжения строго равна.

  7. Александр

    Мне кажется, что это не совсем корректное решение. Есть ещё сила тяжести, действующая на гирьку (а если её нет, то нет понятий горизонтально-вертикально).
    Тогда T_н^2 = (m*a_ц)^2 + (m*g)^2. Ну и дальше, как написано в решении…
    m*g = 0,5; T_н = 1,96 – вряд ли величиной m*g здесь можно пренебречь.

    Или надо силу тяжести как-то скомпенсировать в условии. Например, объявить, что гирька скользит по гладкой плоскости, тогда сила тяжести скомпенсируется реакцией опоры и можно не переписывать решение.

    1. Easyfizika (автор)

      Я учёл все Ваши замечания (спасибо за них) и перерешал задачу, теперь всё верно

      1. Александр

        А теперь меня душит жаба. :) Если в то условие добавить гладкую поверхность не меняя решения, то это тоже годная задача, её тоже жалко. :) Лучше, когда они обе есть.

      2. Александр

        И ещё есть ощущение какого-то жульства… Я до ф.4 никаких изъянов не вижу. Более того, альтернативный вариант:
        2 закон Ньютона на радиальное направление:
        T_н = m*a_ц*sin*\alpha) + m*g*cos(\alpha)
        и после подстановки sin и cos приходим к той же ф.4.
        Вроде всё честно…Но исчезло g! Допустим, так оно и надо, от g сила натяжения не зависит… А теперь ситуация – система почти не вращается, период велик, а g большое. Тогда R стремится к нулю, а сила натяжения нити соответственно к m*g.
        А из ф.4 вроде бы при R стремящимся к 0 получаем бесконечно большое натяжение нити. Упс…
        На самом то деле там a_ц при таком раскладе тоже должно к нулю стремиться, а всё вместе по идее к m*g, но из ф.4 это как-то не очень очевидно…

        1. Easyfizika (автор)

          Думаю Ваши комментарии натолкнут интересующихся попробовать решить вариант этой задачи с гладкой поверхностью.

          Главное, что решена задача, условие которой написано на этой странице, ведь именно ее и ищут.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: