Решение: Груз массой 10 кг привязан к свободно свисающему концу веревки, намотанной

Условие задачи:

Груз массой 10 кг привязан к свободно свисающему концу веревки, намотанной на лебедку. Груз и лебедка находятся на некоторой высоте. Груз начинает падать, причем веревка натянулась, когда груз пролетел расстояние 12 м. Какую минимальную длину веревки пришлось выпустить при торможении груза до полной его остановки, если максимальная сила натяжения 180 Н?

Задача №2.1.76 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=10\) кг, \(S=12\) м, \(T=180\) Н, \(L-?\)

Решение задачи:

Сначала рассмотрим кинематику движения груза. Первые \(S\) метров веревка не натянута, значит груз падает свободно с ускорением \(g\). Когда груз пролетит \(S\) метров, его скорость станет равной \(\upsilon\). Затем веревка натягивается, груз уже падает равнозамедленно с некоторым ускорением \(a\) и проходит до остановки расстояние \(L\). Запишем следующую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\upsilon ^2} – 0 = 2gS \hfill \\
0 – {\upsilon ^2} = – 2aL \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{\upsilon ^2} = 2gS \hfill \\
{\upsilon ^2} = 2aL \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее выражение на верхнее:

\[\frac{{2aL}}{{2gS}} = 1 \Rightarrow L = \frac{{gS}}{a}\;\;\;\;(1)\]

Рассмотрим динамику движения груза при натянутой веревке. На тело действуют сила натяжения веревки \(T\) и сила тяжести \(mg\). Тело движется равнозамедленно, поэтому применим второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\).

\[T – mg = ma\]

\[a = \frac{{T – mg}}{m}\;\;\;\;(2)\]

Подставив (2) в (1), получаем решение задачи в общем виде. Остается только посчитать численный ответ.

\[L = \frac{{mgS}}{{T – mg}}\]

\[L = \frac{{10 \cdot 10 \cdot 12}}{{180 – 10 \cdot 10}} = 15\; м\]