Решение: Груз, подвешенный на нити длиной 98 см, равномерно вращается по окружности

Условие задачи:

Груз, подвешенный на нити длиной 98 см, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость вращения груза, если при его вращении нить отклонена от вертикали на угол 60°? (\(g=9,8\) м/с²)

Задача №2.4.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=98\) см, \(\alpha=60^\circ\), \(g=9,8\) м/с², \(\omega-?\)

Решение задачи:

На схеме покажем груз, действующие на него силы и геометрические параметры задачи. Груз покоится относительно оси \(y\), что дает нам право применить первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\):

\[T \cdot \cos \alpha = mg\;\;\;\;(1)\]

Так как груз в горизонтальной плоскости равномерно движется по окружности некоторого радиуса \(R\), то запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[T \cdot \sin \alpha = m{a_ц}\]

Поскольку нам нужно найти угловую скорость вращения \(\omega\), то запишем такую формулу определения ускорения \(a_ц\):

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[T \cdot \sin \alpha = m{\omega ^2}R\;\;\;\;(2)\]

Поделим полученное равенство (2) на равенство (1):

\[tg\alpha = \frac{{{\omega ^2}R}}{g}\]

Из прямоугольного треугольника с катетом \(R\), гипотенузой \(l\) и углом \(\alpha\) верно, что:

\[R = l \cdot \sin \alpha \]

Тогда:

\[tg\alpha = \frac{{{\omega ^2}l \cdot \sin \alpha }}{g}\]

\[\frac{1}{{\cos \alpha }} = \frac{{{\omega ^2}l}}{g}\]

\[\omega = \sqrt {\frac{g}{{l \cdot \cos \alpha }}} \]