Решение: Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы лежащий на столе груз

Условие задачи:

Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы лежащий на столе груз массой 1 кг поднять на высоту 1 м при помощи привязанного к нему невесомого резинового жгута? В начальном состоянии жгут не растянут, его жесткость 10 Н/м.

Задача №2.8.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1\) кг, \(h=1\) м, \(k=10\) Н/м, \(A-?\)

Решение задачи:

Для начала груз нужно оторвать от стола. Так как груз поднимают резиновым жгутом, то перед тем как груз оторвется от стола, жгут растянется на некоторую величину \(x\). Как эту деформацию определить? Достаточно записать первый закон Ньютона для покоящегося груза в проекции на ось \(y\):

\[N + kx – mg = 0\]

Здесь \(kx\) – сила упругости резинового жгута, определяемое по закону Гука:

\[{F_{у}} = kx\]

Когда груз оторвется от стола, то сила реакции опоры \(N\) станет равной нулю. Тогда:

\[N = 0 \Rightarrow kx = mg\]

\[x = \frac{{mg}}{k}\]

После отрыва от стола груз поднимают равномерно с такой маленькой скоростью, что ею можно пренебречь, дабы соблюсти условие минимальности работы и не изменить величину деформации жгута (если груз поднимать равноускоренно, то деформация увеличится).

Далее воспользуемся законом сохранения энергии. Согласно ему работа внешней силы есть изменение полной механической энергии системы. В данном случае изменилась потенциальная энергия жгута и груза.

\[A = \Delta E\]

В начале потенциальная энергия обоих тел равна нулю. Когда груз будет поднят на заданную высоту \(h\), то его потенциальная энергия будет равна \({E_{1}} = mgh\), при этом жгут будет растянут на величину \(x\), а его потенциальная энергия будет равна \({E_{2}} = \frac{{k{x^2}}}{2}\).

\[A = {E_1} + {E_2}\]

\[A = mgh + \frac{{k{x^2}}}{2}\]

Так как мы определили, что \(x = \frac{{mg}}{k}\), то:

\[A = mgh + \frac{k}{2}{\left( {\frac{{mg}}{k}} \right)^2} = mgh + \frac{{{m^2}{g^2}}}{{2k}}\]

\[A = mg\left( {h + \frac{{mg}}{{2k}}} \right)\]

Так как все численные значения величин даны в системе СИ, то можем сразу посчитать ответ:

\[A = 1 \cdot 10\left( {1 + \frac{{1 \cdot 10}}{{2 \cdot 10}}} \right) = 15\; Дж\]