Решение: Камень, подвешенный к потолку на веревке, движется в горизонтальной плоскости

Условие задачи:

Камень, подвешенный к потолку на веревке, движется в горизонтальной плоскости по окружности, отстоящей от потолка на расстояние 90 см. Найти период обращения камня.

Задача №2.4.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h=90\) см, \(T-?\)

Решение задачи:

На камень действуют две силы: это сила тяжести \(mg\) и сила натяжения нити \(T_н\) (индекс добавлен для того, чтобы не путать с периодом \(T\)). Оси координат и другие геометрические параметры вы можете видеть на схеме.

Тело неподвижно вдоль оси \(y\), применим первый закон Ньютона в проекции на эту ось:

\[{T_н} \cdot \sin \alpha = mg\;\;\;\;(1)\]

В горизонтальной плоскости камень описывает окружность некоторого радиуса \(R\). Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[{T_н} \cdot \cos \alpha = m{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Запишем формулу определения центростремительного ускорения \(a_ц\) через угловую скорость вращения \(\omega\) и формулу связи последней с периодом обращения \(T\):

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

Таким образом, ускорение камня можно найти по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}R\]

Равенство (2) примет вид:

\[{T_н} \cdot \cos \alpha = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}mR\]

Поделим равенство (1) на последнее, тогда:

\[tg\alpha = \frac{{g{T^2}}}{{4{\pi ^2}R}}\]

Выразим нужный нам период обращения \(T\):

\[{T^2} = \frac{{4{\pi ^2}R \cdot tg\alpha }}{g}\]

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{{R \cdot tg\alpha }}{g}} \;\;\;\;(3)\]

Глядя на схему видно, что тангенс угла \(\alpha\) равен: