Условие задачи:

Ледяная горка составляет с горизонтом угол 10°. По ней пускают вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту, соскальзывает по тому же пути вниз. Каков коэффициент трения, если время спуска в 2 раза больше времени подъема?

Задача №2.3.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\alpha=10^\circ$, $\tau=2t$, $\mu-?$

Решение задачи:

Рассмотрим движение камня вверх по горке. Пусть у основания горки камень имеет скорость $\upsilon_0$. Двигаясь равнозамедленно с ускорением $a_1$ он пройдёт за время $t$ расстояние $S$ и остановится. Формула скорости камня при этом такая:

$$0 = {\upsilon _0} — {a_1}t$$

$${\upsilon _0} = {a_1}t\;\;\;\;(1)$$

Также применим такую известную формулу из кинематики:

$$0 — \upsilon _0^2 =  — 2{a_1}S$$

Используя выражение (1), получим:

$$a_1^2{t^2} = 2{a_1}S$$

$$t = \sqrt {\frac{{2S}}{{{a_1}}}} \;\;\;\;(2)$$

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $x$ и первый закон Ньютона в проекции на ось $y$, тогда:

$$\left\{ \begin{gathered} mg \cdot \sin \alpha + {F_{тр}} = m{a_1} \hfill \\ N = mg \cdot \cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Определить силу трения просто, достаточно вспомнить такую формулу:

$${F_{тр}} = \mu N$$

$${F_{тр}} = \mu mg \cdot \cos \alpha$$

Первое равенство системы примет такой вид:

$$mg \cdot \sin \alpha  + \mu mg \cdot \cos \alpha  = m{a_1}$$

$${a_1} = g\sin \alpha  + \mu g\cos \alpha$$

Формула (2) для времени подъема станет уже такой:

$$t = \sqrt {\frac{{2S}}{{g\sin \alpha  + \mu g\cos \alpha }}} \;\;\;\;(3)$$

Перейдем к движению камня вниз. Очевидно, что он скользит без начальной скорости с ускорением $a_2$, запишем такое уравнение движения:

$$S = \frac{{{a_2}{\tau ^2}}}{2}$$

$$\tau  = \sqrt {\frac{{2S}}{{{a_2}}}} \;\;\;\;(4)$$

Аналогично записываем законы Ньютона в проекции на оси координат:

$$\left\{ \begin{gathered} mg \cdot \sin \alpha — {F_{тр}} = m{a_2} \hfill \\ N = mg \cdot \cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Сила трения определяется аналогично, поэтому опустим этот момент. Ускорение $a_2$ равно:

$${a_2} = g\sin \alpha  — \mu g\cos \alpha$$

Формула (4) для времени спуска получается такой:

$$\tau  = \sqrt {\frac{{2S}}{{g\sin \alpha  — \mu g\cos \alpha }}} \;\;\;\;(5)$$

Отношение время спуска $\tau$ ко времени подъема $t$ равно двум по условию, поэтому, поделив выражение (5) на выражение (3), получим:

$$\sqrt {\frac{{\sin \alpha  + \mu \cos \alpha }}{{\sin \alpha  — \mu \cos \alpha }}}  = 2$$

Возводим в квадрат, далее перемножаем «крест-накрест».

$$\frac{{\sin \alpha  + \mu \cos \alpha }}{{\sin \alpha  — \mu \cos \alpha }} = 4$$

$$\sin \alpha  + \mu \cos \alpha  = 4\sin \alpha  — 4\mu \cos \alpha$$

$$5\mu \cos \alpha  = 3\sin \alpha$$

$$\mu  = \frac{3}{5}tg\alpha$$

Мы решили задачу в общем виде, теперь посчитаем ответ:

$$\mu  = \frac{3}{5}tg10^\circ  = 0,106$$

Ответ: 0,106.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.3.13 Ледяная гора составляет с горизонтом угол 30 градусов, по ней снизу вверх пускают
2.3.15 С каким ускорением движутся грузы m1=0,5 кг и m2=0,6 кг, если высота наклонной
2.3.16 С горы высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки, которые затем останавливаются