Решение: Маленький шарик, подвешенный на нити, движется по окружности так, что нить

Условие задачи:

Маленький шарик, подвешенный на нити, движется по окружности так, что нить составляет с вертикалью постоянный угол 30°. Другой такой же шарик, подвешенный на нити такой же длины, движется так, что его нить составляет с вертикалью постоянный угол 45°. Во сколько раз кинетическая энергия второго шарика больше, чем первого?

Задача №2.4.31 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha = 30^\circ\), \(\beta=45^\circ\), \(\frac{E_{к2}}{E_{к1}}-?\)

Решение задачи:

Очевидно, что отношение кинетических энергий шариков будет равно отношению квадратов скоростей шариков, поскольку их массы одинаковы.

\[\frac{{{E_{к2}}}}{{{E_{к1}}}} = \frac{{\upsilon _2^2}}{{\upsilon _1^2}}\;\;\;\;(1)\]

Смысла рассматривать оба шарика нет – достаточно рассмотреть только первый (для него и приведен рисунок). Запишем первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\) и второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[\left\{ \begin{gathered}
T_1 \cdot \cos \alpha = mg \hfill \\
T_1 \cdot \sin \alpha = m{a_{ц1}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Если первый шарик движется равномерно по окружности со скоростью \(\upsilon\), то действующее на него центростремительное ускорение \(a_ц\) равно:

\[{a_{ц1}} = \frac{{\upsilon _1^2}}{R_1}\]

Система примет такой вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
T_1 \cdot \cos \alpha = mg \hfill \\
T_1 \cdot \sin \alpha = m\frac{{\upsilon _1^2}}{R_1} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда:

\[tg\alpha = \frac{{\upsilon _1^2}}{{g{R_1}}}\]

На схеме видно, что радиус \(R_1\) равен:

\[{R_1} = l \cdot \sin \alpha \]

\[tg\alpha = \frac{{\upsilon _1^2}}{{gl \cdot \sin \alpha }}\]

\[\upsilon _1^2 = gl \cdot \sin \alpha \cdot tg\alpha \;\;\;\;(2)\]

Для второго шарика, произведя аналогичные действия, вы получите:

\[\upsilon _2^2 = gl \cdot \sin \beta \cdot tg\beta \;\;\;\;(3)\]

Подставим полученные выражения (2) и (3) в (1), тогда:

\[\frac{{{E_{к2}}}}{{{E_{к1}}}} = \frac{{gl \cdot \sin \beta \cdot tg\beta }}{{gl \cdot \sin \alpha \cdot tg\alpha }}\]

\[\frac{{{E_{к2}}}}{{{E_{к1}}}} = \frac{{\sin \beta \cdot tg\beta }}{{\sin \alpha \cdot tg\alpha }}\]

Осталось посчитать ответ: