На горизонтальной поверхности в 3 м от вертикальной стенки находится шар массой

Условие задачи:

На горизонтальной поверхности в 3 м от вертикальной стенки находится шар массой \(M\). Другой шар массой \(m\) скользит по направлению от стенки к шару \(M\). После абсолютно упругого удара шар \(m\) достигает стенки и, упруго отразившись от нее, догоняет шар \(M\). Определить, на каком расстоянии от стенки произошло второе соударение, если \(M/m=5\).

Задача №2.9.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=3\) м, \(M\), \(m\), \(\frac{M}{m}=5\), \(L-?\)

Решение задачи:

Для начала разберемся с абсолютно упругим ударом шаров, то есть узнаем какие скорости шары приобретут после удара. Пусть изначально шар \(m\) двигался со скоростью \(\upsilon_0\) в направлении от стенки. После удара шар \(m\) станет двигаться к стенке с некой скоростью \(\upsilon\), а шар \(M\) – от стенки со скоростью \(u\).

Запишем закон сохранения импульса (ЗСИ) в проекции на ось \(x\) и закон сохранения энергии (ЗСЭ):

\[\left\{ \begin{gathered}
– m{\upsilon _0} = – Mu + m\upsilon \hfill \\
\frac{{m\upsilon _0^2}}{2} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{{M{u^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

ЗСИ перепишем в следующем виде:

\[m\left( {\upsilon  + {\upsilon _0}} \right) = Mu\;\;\;\;(1)\]

ЗСЭ запишем в таком виде, чтобы затем расписать разность квадратов:

\[\frac{m}{2}\left( {\upsilon _0^2 – {\upsilon ^2}} \right) = \frac{{M{u^2}}}{2}\]

\[\frac{m}{2}\left( {{\upsilon _0} + \upsilon } \right)\left( {{\upsilon _0} – \upsilon } \right) = \frac{{M{u^2}}}{2}\]

Учитывая (1), имеем:

\[\frac{{Mu}}{2}\left( {{\upsilon _0} – \upsilon } \right) = \frac{{M{u^2}}}{2}\]

\[u = {\upsilon _0} – \upsilon \;\;\;\;(2)\]

Полученное выражение для скорости шара \(M\) подставим в (1).

\[m\left( {\upsilon  + {\upsilon _0}} \right) = M\left( {{\upsilon _0} – \upsilon } \right)\]

Попытаемся выразить скорость шара \(m\) после удара:

\[m\upsilon  + m{\upsilon _0} = M{\upsilon _0} – M\upsilon \]

\[\upsilon \left( {m + M} \right) = {\upsilon _0}\left( {M – m} \right)\]

\[\upsilon  = \frac{{{\upsilon _0}\left( {M – m} \right)}}{{m + M}}\]

\[\upsilon  = \frac{{{\upsilon _0}\left( {\frac{M}{m} – 1} \right)}}{{1 + \frac{M}{m}}} = \frac{{{\upsilon _0}\left( {5 – 1} \right)}}{{1 + 5}} = \frac{2}{3}{\upsilon _0}\]

Используя равенство (2), получим:

\[u = {\upsilon _0} – \frac{2}{3}{\upsilon _0} = \frac{1}{3}{\upsilon _0}\]

Отлично, теперь можно заняться кинематикой задачи. На оба шара вдоль оси \(x\) не действуют силы, поэтому они будут двигаться равномерно. После удара, за то время \(t_1\), что шар \(m\) достигнет стенки, шар \(M\) удалится от своего первоначального положения на расстояние \(l_1\). Будет правильно записать такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
l = \upsilon {t_1} \hfill \\
{l_1} = u{t_1} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее выражение этой системы на нижнее, получим:

\[\frac{l}{{{l_1}}} = \frac{\upsilon }{u}\]

Выше мы уже определили, что \(u = \frac{1}{3}{\upsilon _0}\) и \(\upsilon = \frac{2}{3}{\upsilon _0}\), значит:

\[\frac{l}{{{l_1}}} = \frac{{2{\upsilon _0} \cdot 3}}{{3{\upsilon _0}}} = 2\]

\[{l_1} = \frac{1}{2}l\]

Далее шар \(m\) упруго отскакивает от стенки и догоняет за время \(t_2\) шар \(M\), который пройдет дополнительно расстояние \(l_2\). Понятно, что шар \(m\) после удара о стенку пройдет искомое расстояние \(L\). Запишем следующую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
L = \upsilon {t_2} \hfill \\
{l_2} = u{t_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Выполним аналогичные действия и получим:

\[\frac{L}{{{l_2}}} = 2\]

\[{l_2} = \frac{1}{2}L\]

Из приведенного рисунка видно, что:

\[L = l + {l_1} + {l_2}\]

Так как мы уже знаем, что \({l_1} = \frac{1}{2}l\) и \({l_2} = \frac{1}{2}L\), то:

\[L = l + \frac{1}{2}l + \frac{1}{2}L\]

\[\frac{1}{2}L = \frac{3}{2}l\]

\[L = 3l\]

Посчитаем ответ:

\[L = 3 \cdot 3 = 9\; м\]

Ответ: 9 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.9.6 Шарик подлетает к неподвижной вертикальной стенке сверху со скоростью 10 м/с
2.10.1 По абсолютно гладкой поверхности движется со скоростью 6 м/с ящик с песком
2.10.2 Тележка массой 100 кг движется со скоростью 2 м/с. Когда она проезжает мимо