Решение: По наклонной плоскости с углом наклона 60 градусов соскальзывает без трения клин

Условие задачи:

По наклонной плоскости с углом наклона 60° соскальзывает без трения клин. На верхней поверхности горизонтальной грани клина лежит груз массой 0,4 кг, неподвижный относительно клина. Найти силу трения покоя, действующую на груз.

Задача №2.3.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=60^\circ\), \(m=0,4\) кг, \(F_{тр}-?\)

Решение задачи:

Введем на данной к задаче схеме систему координат: \(y\) перпендикулярно наклонной плоскости, а \(x\) вдоль неё. Рассмотрим систему “клин – груз”. Так как клин движется без трения, то на эту систему действует две внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры. Запишем теорему о движении центра масс в проекции на ось \(x\):

\[Mg \cdot \sin \alpha = Ma\]

Здесь \(M\) – это масса системы, т.е. суммарная масса клина с грузом. Так как совместное движение клина с грузом является поступательным, а вращательное движение отсутствует, значит каждая точка этой системы движется с этим ускорением:

\[a = g \cdot \sin \alpha \;\;\;\;(1)\]

Теперь рассмотрим груз. Для этого введем оси координат, как показано на схеме справа. На груз действуют три силы: сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения покоя (обратите внимание на её направление). При этом груз движется ускоренно с ускорением \(a\) относительно Земли. Применим второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[{F_{тр}} = ma \cdot \cos \alpha \]

Используя ранее найденное выражение для ускорения (1), имеем:

\[{F_{тр}} = mg \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \]

\[{F_{тр}} = \frac{{mg \cdot \sin 2\alpha }}{2}\]

Так как все численные величины даны в системе СИ, то можем сразу посчитать ответ:

\[{F_{тр}} = \frac{{0,4 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ }}{2} = 1,73\; Н\]