С ледяной горки высотой 3 м и длиной основания 5 м съезжают санки, которые

Условие задачи:

С ледяной горки высотой 3 м и длиной основания 5 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя путь по горизонтали 95 м. Найти коэффициент трения, считая его везде постоянным.

Задача №2.3.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(H=3\) м, \(L=5\) м, \(S=95\) м, \(\mu-?\)

Решение задачи:

На схеме покажем два участка движения санок (условно) с системой координат: по горке и по горизонтальной поверхности. Понятно, что на обоих участках сила трения скольжения принимает разные значения.

1 участок: движение по горки. Тело покоится по оси \(y\), из первого закона Ньютона в проекции на эту ось следует, что:

\[N_1 = mg \cdot \cos \alpha \]

Сила трения скольжения определяется по формуле:

\[{F_{тр1}} = \mu N_1\]

\[{F_{тр1}} = \mu mg \cdot \cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

При этом на этом участке сила трения совершит такую работу (она, кстати, отрицательна):

\[{A_1} =  – {F_{тр}} \cdot l\]

Подставим выражение (1) в последнюю формулу, тогда:

\[{A_1} =  – \mu mg \cdot \cos \alpha  \cdot l\]

Обратите внимание, что из геометрии произведение \(l \cdot \cos \alpha\) равно \(L\). Тогда:

\[{A_1} =  – \mu mg \cdot L\;\;\;\;(2)\]

2 участок: движение по горизонтальной поверхности. Аналогично, по первому закону Ньютона в проекции на ось \(y\):

\[N_2 = mg\]

Сила трения скольжения уже равна:

\[{F_{тр2}} = \mu mg\;\;\;\;(3)\]

Работу силы трения скольжения \(F_{тр2}\) найдем по формуле:

\[{A_2} =  – {F_{тр2}} \cdot S\]

Учитывая (3), имеем:

\[{A_2} =  – \mu mg \cdot S\;\;\;\;(4)\]

По закону сохранения энергии работа неконсервативных сил есть изменение полной механической энергии. На вершине горки тело имело потенциальную энергию, а, спустившись по горке и пройдя расстояние \(S\), ни потенциальной, ни кинетической.

\[A = \Delta E\]

\[{A_1} + {A_2} = 0 – mgH\]

Учитывая ранее полученные выражения для работ (2) и (4), имеем:

\[ – \mu mg \cdot L – \mu mg \cdot S =  – mgH\]

\[\mu  = \frac{H}{{L + S}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[\mu  = \frac{3}{{5 + 95}} = 0,03\]

Задачу можно решить иначе (я бы не сказал, что проще), используя второй закон Ньютона, формулы кинематики и тригонометрию. Сначала запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\) для двух участков (как мы определяли силы трения скольжения и силу реакции опоры на этих участках, читайте выше):

\[\left\{ \begin{gathered}
mg \cdot \sin \alpha – \mu mg \cdot \cos \alpha = m{a_1} \hfill \\
\mu mg = m{a_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
{a_1} = g\left( {\sin \alpha – \mu \cdot \cos \alpha } \right) \hfill \\
{a_2} = \mu g \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая, что скорость санок в начале и в конце равна нулю, а на участке перехода от первого участка ко второму – равна некой \(\upsilon\), примем формулу кинематики без времени (опять же для двух участков):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\upsilon ^2} – {0^2} = 2{a_1}l \hfill \\
{0^2} – {\upsilon ^2} = – 2{a_2}S \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
{\upsilon ^2} = 2{a_1}l \hfill \\
{\upsilon ^2} = 2{a_2}S \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Замечательно, значит справедливо равенство:

\[2{a_1}l = 2{a_2}S\]

\[{a_1}l = {a_2}S\]

Подставим полученные выражения для ускорений, тогда:

\[g\left( {\sin \alpha – \mu \cdot \cos \alpha } \right)l = \mu gS\]

\[\left( {\sin \alpha – \mu \cdot \cos \alpha } \right)l = \mu S\]

Из рисунка 1-го участка видно, что:

\[\left\{ \begin{gathered}
\sin \alpha = \frac{H}{l} \hfill \\
\cos \alpha = \frac{L}{l} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[\left( {\frac{H}{l} – \mu \cdot \frac{L}{l}} \right)l = \mu S\]

\[H – \mu L = \mu S\]

\[H = \mu \left( {L + S} \right)\]

Откуда мы получим то же самое решение, что и в первом случае:

\[\mu = \frac{H}{{L + S}}\]

\[\mu  = \frac{3}{{5 + 95}} = 0,03\]

Ответ: 0,03.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.3.9 Автомобиль при полностью включенных тормозах (колеса не вращаются) может
2.3.11 Брусок массой 3 кг находится на наклонной плоскости, составляющей угол 45 градусов
2.3.12 Брусок сползает без начальной скорости с высоты 2 м по доске, наклоненной