Санки можно удержать на ледяной горке с уклоном 0,2 (отношение высоты к длине)

Условие задачи:

Санки можно удержать на ледяной горке с уклоном 0,2 (отношение высоты к длине) силой, параллельной горке и не меньшей 49 Н. Чтобы тянуть санки в горку равномерно, силу надо увеличить на 9,8 Н. С каким ускорением будут двигаться санки, если им предоставить возможность скатываться?

Задача №2.3.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(tg \alpha = 0,2\), \(F=49\) Н, \(\Delta F=9,8\) Н, \(a-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Для всех трёх случаев нарисуем схемы, на которых покажем все силы, действующие на санки.

В первом случае санки покоятся, так как удерживаются силой \(F\) и силой трения покоя. Запишем первый закон Ньютона в проекции на ось \(x\) и \(y\):

\[\left\{ \begin{gathered}
F + {F_{тр.п}} – mg \cdot \sin \alpha = 0 \hfill \\
N = mg \cdot \cos \alpha \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Сила трения покоя принимает в данном случае максимальное значение, т.е. она уже равно силе трения скольжения, но санки не соскальзывают. Именно поэтому в условии пишут, что “санки можно удержать силой не меньшей 49 Н”.

\[{F_{тр.п}} = \mu N\]

\[{F_{тр.п}} = \mu mg \cdot \cos \alpha \]

Тогда:

\[F + \mu mg \cdot \cos \alpha  – mg \cdot \sin \alpha  = 0\;\;\;\;(1)\]

Также выразим \(F\), это пригодится нам в дальнейшем решении:

\[F = mg \cdot \sin \alpha  – \mu mg \cdot \cos \alpha \;\;\;\;(2)\]

Во втором случае санки движутся вверх равномерно. Опять запишем первый закон Ньютона в проекции на обе оси:

\[\left\{ \begin{gathered}
F + \Delta F – {F_{тр.ск}} – mg \cdot \sin \alpha = 0 \hfill \\
N = mg \cdot \cos \alpha \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Обратите внимание, что в данном случае имеет место сила трения скольжения. Она равна максимальной силе трения покоя, определенной в первом случае, поэтому:

\[F + \Delta F – \mu mg \cdot \cos \alpha  – mg \cdot \sin \alpha  = 0\;\;\;\;(3)\]

Вычтем из равенства (3) равенство (1), тогда:

\[\Delta F – 2\mu mg \cdot \cos \alpha  = 0\]

\[\mu mg \cdot \cos \alpha  = \frac{{\Delta F}}{2}\]

Полученное подставим в (1), далее выразим массу санок:

\[F + \frac{{\Delta F}}{2} – mg \cdot \sin \alpha  = 0\]

\[m = \frac{{2F + \Delta F}}{{2g \cdot \sin \alpha }}\;\;\;\;(4)\]

В третьем случае санки скользят равноускоренно вниз, применим второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[mg \cdot \sin \alpha  – {F_{тр.ск}} = ma\]

Аналогично вышеприведенному находим силу трения скольжения, тогда:

\[mg \cdot \sin \alpha  – \mu mg \cdot \cos \alpha  = ma\]

\[a = \frac{{mg \cdot \sin \alpha  – \mu mg \cdot \cos \alpha }}{m}\]

Числитель дроби в правой части равен \(F\) (смотрите формулу (2)), а вместо массы в знаменателе подставим (4):

\[a = \frac{{2Fg\sin \alpha }}{{2F + \Delta F}}\]

Необходимо синус угла выразить через данный в условии тангенс угла, для этого воспользуемся следующей формулой:

\[\sin \alpha = \frac{{tg\alpha }}{{\sqrt {1 + {tg^2}\alpha } }}\]

Окончательно получим:

\[a = \frac{{2Fg}}{{2F + \Delta F}} \cdot \frac{{tg\alpha }}{{\sqrt {1 + {tg^2}\alpha } }}\]

Посчитаем ответ:

\[a = \frac{{2 \cdot 49 \cdot 10}}{{2 \cdot 49 + 9,8}} \cdot \frac{{0,2}}{{\sqrt {1 + {{0,2}^2}} }} = 1,78\; м/с^2\]

Ответ: 1,78 м/с2.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.3.4 По наклонной плоскости с углом наклона 30 градусов к горизонту скользит вниз тело
2.3.6 Тело массой 1 кг, имеющее у основания наклонной плоскости скорость 6 м/с
2.3.7 Тело скользит равномерно по наклонной плоскости, угол наклона которой 30 градусов

Пожалуйста, поставьте оценку
( 12 оценок, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 12
  1. Аноним

    если учесть, что:
    mg(sin(a)-mu*cos(a)) <= F <=mg(sin(a)+mu*cos(a))
    то получим ускорение в диапазоне (и массу тоже в диапазоне…)
    1.78 <= a <= 2.18

    ;-)

  2. Аноним

    Если различать силу трения скольжения от силы трения покоя, то и коэффициент трения должен быть разным. В задаче он одинаков…
    Зачем лишние переобозначения?

  3. Аноним

    При удержании санок на горке
    куда направлена сила трения?
    1) сила трения может быть направлена вниз… в случае, если они вот-вот поедут вверх…
    2) сила трения может быть направлена вверх… в случае, если они вот-вот поедут вниз…
    В задача рассмотрен только 2-ой (!?!) случай…

    ;-)

    1. Аноним

      Учет направления силы трения ТОЛЬКО вверх…
      ЭТО СУЩЕСТВЕННАЯ ОШИБКА…

      ;-)

      1. Аноним

        итого:
        F – сила удержания
        mg(sin(a)-mu*cos(a)) <= F <=mg(sin(a)+mu*cos(a))
        ;-)

  4. Аноним

    Санки скатываются…
    1) замедляясь
    или
    2) ускоряясь
    ?
    ;-)

  5. выпуклый

    в решение не заглядывал 15 минут ёрзал потому что длина была горизонтальна а высота перпендикулярно ей(на гипотенузе лёд). и к чему я пришёл? понял разочарование.
    Ньютон благослови меня на мудрость!

    1. Easyfizika (автор)

      Решение откорректировано, действительно неправильно определяли уклон как синус угла \(\alpha\) (нужно через тангенс)

  6. Александр

    Здравствуйте, вы сделали ошибку, приняв уклон за синус альфа. Ведь даже в условии написано – отношение высоты к длине.

    1. Easyfizika (автор)

      Действительно, спасибо за замечание, решение откорректировано!

  7. Дос-кун

    Здравствуйте, можно вопрос не по теме? Почему у вас нет раздела оптики?

    1. Easyfizika (автор)

      Потому что еще не дошли руки. Процесс размещения задач достаточно долгий, но скоро уже все разделы сборника будут представлены на сайте.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: