Шарик массой 200 г на нити длиной 3 м описывает в горизонтальной плоскости

Условие задачи:

Шарик массой 200 г на нити длиной 3 м описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 1 м. Каков период его обращения?

Задача №2.4.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=200\) г, \(l=3\) м, \(R=1\) м, \(T-?\)

Решение задачи:

На шарик действуют всего две силы: сила тяжести \(mg\) и сила натяжения нити \(T_н\). Запишем первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\) и второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_н} \cdot \cos \alpha = mg \hfill \\
{T_н} \cdot \sin \alpha = m{a_ц} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вспомним из кинематики вращательного движения следующие формулы:

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[\omega  = \frac{{2\pi }}{T}\]

Тогда формула связи центростремительного ускорение и периода выглядит так:

\[{a_ц} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}R\]

Наша система примет вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_н} \cdot \cos \alpha = mg \hfill \\
{T_н} \cdot \sin \alpha = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}mR \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда имеем:

\[tg\alpha  = \frac{{4{\pi ^2}R}}{{g{T^2}}}\]

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{R}{{g \cdot tg\alpha }}} \]

На схеме видно, что:

\[tg\alpha  = \frac{R}{h}\]

По теореме Пифагора:

\[h = \sqrt {{l^2} – {R^2}} \]

\[tg\alpha  = \frac{R}{{\sqrt {{l^2} – {R^2}} }}\]

В конце концов, итоговая формула будет выглядеть так:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{{\sqrt {{l^2} – {R^2}} }}{g}} \]

Посчитаем ответ:

\[T = 2 \cdot 3,14\sqrt {\frac{{\sqrt {{3^2} – {1^2}} }}{{10}}}  = 3,34\; с\]

Интересно, что период вращения шарика не зависит от его массы.

Ответ: 3,34 с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.4.26 Подвешенный на нити шарик массой 0,3 кг совершает колебания в вертикальной
2.4.28 Тело массой 4 кг вращают в вертикальной плоскости с помощью резинового шнура
2.4.29 К потолку лифта на нити длиной 40 см прикреплен шар массой 800 г, который вращается