Шарик на нити отклонили от вертикали на 60 градусов и отпустили без начальной

Условие задачи:

Шарик на нити отклонили от вертикали на 60° и отпустили без начальной скорости. В момент, когда шарик достиг вертикального положения, он ударился о вертикальную стенку и потерял половину своей энергии. На какой угол он отклонится после удара?

Задача №2.8.53 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=60^\circ\), \(\gamma=\frac{1}{2}\), \(\beta-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Запишем трижды закон сохранения энергии:

  • для начального момента, когда шарик отклонен на угол \(\alpha\), и в момент непосредственно перед ударом;
  • до и после неупругого удара о стенку, при этом не забывая о потерях энергии;
  • сразу после удара шарика о стенку и в момент, когда шарик отклонится уже на угол \(\beta\).

\[\left\{ \begin{gathered}
mgL\left( {1 – \cos \alpha } \right) = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} \;\;\;\;(1)\hfill \\
\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{m{u^2}}}{2} + Q \;\;\;\;(2)\hfill \\
\frac{{m{u^2}}}{2} = mgL\left( {1 – \cos \beta } \right) \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим равенство (3) на равенство (1):

\[\frac{{1 – \cos \beta }}{{1 – \cos \alpha }} = {\left( {\frac{u}{\upsilon }} \right)^2}\;\;\;\;(4)\]

Обе части равенства (2) поделим на \(\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\), тогда:

\[1 = {\left( {\frac{u}{\upsilon }} \right)^2} + \frac{{2Q}}{{m{\upsilon ^2}}}\]

Так как из условия понятно, что \(\gamma  = \frac{{2Q}}{{m{\upsilon ^2}}}\), то:

\[1 = {\left( {\frac{u}{\upsilon }} \right)^2} + \gamma \]

\[{\left( {\frac{u}{\upsilon }} \right)^2} = 1 – \gamma \;\;\;\;(5)\]

Посмотрев на формулы (4) и (5), справедливо записать следующее:

\[\frac{{1 – \cos \beta }}{{1 – \cos \alpha }} = 1 – \gamma \]

Остаётся только выполнить алгебраические преобразования.

\[1 – \cos \beta  = \left( {1 – \gamma } \right)\left( {1 – \cos \alpha } \right)\]

\[1 – \cos \beta  = 1 – \cos \alpha  – \gamma  + \gamma \cos \alpha \]

\[\cos \beta  = \cos \alpha  + \gamma  – \gamma \cos \alpha \]

\[\beta  = \arccos \left( {\cos \alpha  + \gamma  – \gamma \cos \alpha } \right)\]

Мы получили решение задачи в общем виде. Теперь считаем численный ответ.

\[\beta  = \arccos \left( {\cos 60^\circ  + \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\cos 60^\circ } \right) = 41,41^\circ  = 0,72\; рад\]

Ответ: 0,72 рад.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.8.52 При ударе шарика об идеально гладкую горизонтальную поверхность теряется третья
2.9.1 Тело массой 1 кг упруго ударяется о покоящееся тело массой 3 кг и летит обратно
2.9.2 Шарик массой 100 г упал с высоты 2,5 м на горизонтальную плиту, масса которой

Пожалуйста, поставьте оценку
( 5 оценок, среднее 4.8 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: