Решение: Тележка стоит на гладких рельсах. Человек переходит с одного её конца на другой

Условие задачи:

Тележка стоит на гладких рельсах. Человек переходит с одного её конца на другой. На какое расстояние переместится при этом тележка? Масса человека 60 кг, тележки – 120 кг, её длина 3 м.

Задача №2.10.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=60\) кг, \(M=120\) кг, \(L=3\) м, \(l-?\)

Решение задачи:

Если рассмотреть систему “тележка – человек”, то на неё не действует ни одна внешняя горизонтальная сила. При перемещении человека относительно тележки, тележка тоже начнет двигаться. Допустим, что оба тела двигаются равномерно: человек – со скоростью \(\upsilon\) относительно тележки, а сама тележка – со скоростью \(u\) относительно Земли. Запишем закон сохранения импульса:

\[0 = m\left( {\upsilon – u} \right) – Mu\]

Внимание! Обратите своё внимание, что импульсы тел записываются относительно одной системы отсчета – в данном случае относительно Земли. Здесь \(m \left( {\upsilon – u} \right)\) – это импульс человека относительно Земли.

Преобразуем полученное равенство:

\[m\left( {\upsilon – u} \right) = Mu\]

\[m\upsilon – mu = Mu\]

\[m\upsilon = \left( {M + m} \right)u\;\;\;\;(1)\]

Человек в процессе своего движения перейдёт из одного конца тележки в другой, то есть пройдёт расстояние \(L\), а тележка откатится на расстояние \(l\). Так как тела двигаются равномерно одно и то же время \(t\), то будет правильно записать следующее:

\[\left\{ \begin{gathered}
\upsilon = \frac{L}{t} \hfill \\
u = \frac{l}{t} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим оба выражения в (1), тогда:

\[m\frac{L}{t} = \left( {M + m} \right)\frac{l}{t}\]

\[mL = \left( {M + m} \right)l\]

Конечная формула такая:

\[l = \frac{{mL}}{{M + m}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[l = \frac{{60 \cdot 3}}{{120 + 60}} = 1\; м = 100\; см\]

Это не единственный способ решения этой задачи – она также прекрасно решается через теорему о движении центра масс.