Тело массой 4 кг вращают в вертикальной плоскости с помощью резинового шнура

Условие задачи:

Тело массой 4 кг вращают в вертикальной плоскости с помощью резинового шнура с частотой 120 об/мин. Найти удлинение и силу натяжения шнура в верхней точке траектории, если его длина в ненапряженном состоянии 30 см, а жесткость 1 кН/м.

Задача №2.4.28 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=4\) кг, \(\nu=120\) об/мин, \(l_0=30\) см, \(k=1\) кН/м, \(x-?\), \(F_{упр}-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Покажем тело, находящееся в положении, указанном в задаче. В этом положении на тело действуют 2 силы: сила тяжести \(mg\), сила натяжения шнура (сила упругости) \(F_{упр}\). Применим второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\), тогда:

\[mg + kx = m{a_ц}\;\;\;\;(1)\]

Поскольку в условии дана частота вращения \(\nu\), то необходимо выразить центростремительное ускорение \(a_ц\) через эту частоту. Для этого запишем следующие формулы:

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[\omega  = 2\pi \nu \]

Имеем такую формулу:

\[{a_ц} = 4{\pi ^2}{\nu ^2}R\]

Легко заменить, что радиус кривизны траектории \(R\) в верхней точке можно найти, зная начальную длину жгута \(l_0\) и её деформацию \(x\) в этой точке. Важно понимать, что по мере вращения тела длина жгута будет изменяться!

\[R = {l_0} + x\]

\[{a_ц} = 4{\pi ^2}{\nu ^2}\left( {{l_0} + x} \right)\]

Тогда равенство (1) примет такой вид:

\[mg + kx = 4{\pi ^2}{\nu ^2}m\left( {{l_0} + x} \right)\]

Раскроем скобки, все члены с неизвестным \(x\) перенесем в одну сторону, вынесем \(x\) за скобки и выразим его.

\[mg + kx = 4{\pi ^2}{\nu ^2}m{l_0} + 4{\pi ^2}{\nu ^2}mx\]

\[x\left( {k – 4{\pi ^2}{\nu ^2}m} \right) = m\left( {4{\pi ^2}{\nu ^2}{l_0} – g} \right)\]

\[x = \frac{{m\left( {4{\pi ^2}{\nu ^2}{l_0} – g} \right)}}{{k – 4{\pi ^2}{\nu ^2}m}}\]

Вполне очевидно, что силу натяжения шнура \(F_{упр}\) (или силу упругости, что то же самое), можно найти по формуле:

\[{F_{упр}} = kx\]

Перед тем, как подставлять числа в формулу, некоторые из них нужно перевести в систему СИ.

\[120\; об/мин = \frac{{120}}{{60}}\; Гц = 2\; Гц\]

\[30\; см = \frac{{30}}{{100}}\; м = 0,3\; м\]

Считаем ответы:

\[x = \frac{{4 \cdot \left( {4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {2^2} \cdot 0,3 – 10} \right)}}{{1000 – 4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {2^2} \cdot 4}} = 0,4\; м\]

\[{F_{упр}} = 1000 \cdot 0,4 = 400\; Н\]

Ответ: 0,4 м; 400 Н.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.4.27 Шарик массой 200 г на нити длиной 3 м описывает в горизонтальной плоскости
2.4.29 К потолку лифта на нити длиной 40 см прикреплен шар массой 800 г, который вращается
2.4.30 Какова должна быть максимальная длина выпуклого симметричного относительно

Пожалуйста, поставьте оценку
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: