Решение: В шар массой 1,5 кг, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 55 см, попадает

Условие задачи:

В шар массой 1,5 кг, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 55 см, попадает и застревает в нем пуля, массой 10 г. Пуля летит наклонно сверху вниз под углом 30° к горизонту. Скорость пули \(\upsilon=400\) м/с. На какой угол \(\varphi\) откачнется шар с пулей?

Задача №2.10.28 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(M=1,5\) кг, \(L=55\) см, \(m=10\) г, \(\alpha=30^\circ\), \(\upsilon=400\) м/с, \(\varphi-?\)

Решение задачи:

На систему “пуля – шар” вдоль оси \(x\) не действуют никакие силы, значит суммарный импульс тел в проекции на эту ось должен сохраняться по закону сохранения импульса.

\[m\upsilon \cdot \cos \alpha = \left( {M + m} \right)u\]

Выразим скорость шара с пулей после удара:

\[u = \frac{{m\upsilon \cdot \cos \alpha }}{{M + m}}\;\;\;\;(1)\]

Далее шар начнет двигаться по окружности и достигнет некоторой максимальной высоты подъема \(h\), когда нить составит с вертикалью искомый угол \(\varphi\). Согласно закону сохранения энергии:

\[\frac{{\left( {M + m} \right){u^2}}}{2} = \left( {M + m} \right)gh\]

\[{u^2} = 2gh\;\;\;\;(2)\]

Если рассмотреть рисунок, приведенный к задаче, то видно, что:

\[h = L\left( {1 – \cos \varphi } \right)\]

Тогда (2) примет вид:

\[{u^2} = 2gL\left( {1 – \cos \varphi } \right)\]

\[\cos \varphi = 1 – \frac{{{u^2}}}{{2gL}}\]

Учитывая (1), имеем:

\[\cos \varphi = 1 – \frac{{{m^2}{\upsilon ^2} \cdot {{\cos }^2}\alpha }}{{2gL{{\left( {M + m} \right)}^2}}}\]

Мы нашли косинус угла \(\varphi\), сам же угол равен:

\[\varphi = \arccos \left( {1 – \frac{{{m^2}{\upsilon ^2} \cdot {{\cos }^2}\alpha }}{{2gL{{\left( {M + m} \right)}^2}}}} \right)\]

Задача решена в общем виде. Переведём некоторые данные величины в систему СИ, после посчитаем ответ.

\[55\; см = \frac{{55}}{{100}}\; м = 0,55\; м\]

\[10\; г = \frac{{10}}{{1000}}\; кг = 0,01\; кг\]

\[\varphi = \arccos \left( {1 – \frac{{{{0,01}^2} \cdot {{400}^2} \cdot {{\cos }^2}30^\circ }}{{2 \cdot 10 \cdot 0,55 \cdot {{\left( {1,5 + 0,01} \right)}^2}}}} \right) = 58,56^\circ = 1,02\; рад\]