Условие задачи:

В желобе, наклоненном под углом 30° к горизонту и вращающемся с частотой 30 оборотов в минуту вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний край желоба, находится шарик. На каком расстоянии от нижнего края желоба остановится шарик?

Задача №2.4.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=30^\circ\), \(\nu=30\) об/мин, \(l-?\)

Решение задачи:

На шарик, находящийся в желобе, действуют сила тяжести \(mg\) и сила реакции опоры \(N\). Шарик не движется вдоль оси \(y\), значит по первому закону Ньютона сумма проекций всех сил на эту ось равна нулю.

\[N \cdot \cos \alpha  — mg = 0\]

\[N \cdot \cos \alpha  = mg\;\;\;\;(1)\]

В горизонтальной плоскости покоящийся относительно желоба шарик описывает окружность какого-то радиуса \(R\). Применим второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[N \cdot \sin \alpha  = m{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Запишем формулу определения ускорения \(a_ц\) через угловую скорость \(\omega\), а также формулу связи угловой скорости \(\omega\) с частотой вращения \(\nu\).

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[\omega  = 2\pi \nu \]

Тогда имеем:

\[{a_ц} = 4{\pi ^2} {\nu ^2}R\]

Равенство (2) примет вид:

\[N \cdot \sin \alpha  = 4{\pi ^2} {\nu ^2}mR\]

Поделим последнее полученное равенство на равенство (1):

\[tg\alpha  = \frac{{4{\pi ^2} {\nu ^2}R}}{g}\]

Выразим радиус окружности \(R\), описываемый шариком в горизонтальной плоскости:

\[R = \frac{{g \cdot tg\alpha }}{{4{\pi ^2} {\nu ^2}}}\]

По схеме видно, что справедливо следующее отношение:

\[l = \frac{R}{{\cos \alpha }}\]

В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:

\[l = \frac{{g \cdot tg\alpha }}{{4{\pi ^2} {\nu ^2} \cdot \cos \alpha }}\]

Частоту вращения желоба необходимо перевести в систему СИ, далее уже можно считать ответ.

\[30\; об/мин = \frac{{30}}{{60}}\; Гц = 0,5\; Гц\]

\[l = \frac{{10 \cdot tg30^\circ }}{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{0,5}^2} \cdot \cos 30^\circ }} = 0,68\; м = 68\; см\]

Ответ: 68 см.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.4.14 Камень, подвешенный к потолку на веревке, движется в горизонтальной плоскости
2.4.16 Гирька массой 0,1 кг, привязанная легкой нерастяжимой нитью, описывает окружность
2.4.17 Груз массой 1 кг, привязанный к нити, отклоняют на 90 градусов от положения