Решение: Два мальчика играют в мяч, стоя на льду на расстоянии 10 м друг от друга

Условие задачи:

Два мальчика играют в мяч, стоя на льду на расстоянии 10 м друг от друга. Один из них бросает горизонтально мяч массой 1 кг, второй ловит его через 0,5 с. Определить расстояние, на которое откатится мальчик массой 40 кг, бросивший мяч, если коэффициент трения подошвы о лёд равен 0,01.

Задача №2.10.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=10\) м, \(m=1\) кг, \(t=0,5\) с, \(M=40\) кг, \(\mu=0,01\), \(L-?\)

Решение задачи:

Мяч был брошен мальчиком горизонтально. Так как на мяч в процессе его движения не действуют никакие горизонтальные силы, то зная расстояние между мальчиками \(S\) и время \(t\), можно найти скорость \(\upsilon\), с которой был брошен мяч:

\[S = \upsilon t\]

\[\upsilon = \frac{S}{t}\;\;\;\;(1)\]

Далее применим закон сохранения импульса для момента броска:

\[0 = m\upsilon — Mu\]

Выразим скорость отката человека \(u\) с учетом (1):

\[u = \frac{{m\upsilon }}{M}\]

\[u = \frac{{mS}}{{Mt}}\;\;\;\;(2)\]

После броска мальчик будет иметь скорость \(u\) и начнет равнозамедленное движение (из-за трения). Применим теорему об изменении кинетической энергии — работа силы трения равна изменению кинетической энергии тела:

\[A = \Delta {E_к}\;\;\;\;(3)\]

Сила трения скольжения определяется по следующей формуле (смотрите рисунок):

\[{F_{тр}} = \mu N = \mu Mg\]

Работа силы трения отрицательна (вектора силы трения и перемещения направлены противоположно) и равна:

\[A = — \mu MgL\;\;\;\;(4)\]

Изменение кинетической энергии \(\Delta {E_к}\) равно:

\[\Delta {E_к} = 0 — \frac{{M{u^2}}}{2} = — \frac{{M{u^2}}}{2}\;\;\;\;(5)\]

Подставим (4) и (5) в (3), откуда далее выразим искомое расстояние \(L\):

\[ — \mu MgL = — \frac{{M{u^2}}}{2}\]

\[L = \frac{{{u^2}}}{{2\mu g}}\]

Учитывая (2), получим конечную для этой задачи формулу:

\[L = \frac{{{m^2}{S^2}}}{{2\mu g{M^2}{t^2}}}\]