Условие задачи:

Два одинаковых шара, массы которых 600 г и радиусы — 20 см, имеют одинаковые заряды. Найти поверхностную плотность электрических зарядов, если известно, что кулоновская сила отталкивания уравновешивается силой всемирного тяготения. Расстояние между шарами гораздо больше их радиусов.

Задача №6.1.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=600\) г, \(r=20\) см, \(F_{эл} = F_{тяг}\), \(\sigma — ?\)

Решение задачи:

Согласно закону всемирного тяготения указанные шары массой \(m\) каждый притягиваются с силой \(F_{тяг}\), определяемой по такой формуле:

\[{F_{тяг}} = \frac{{G{m^2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(G\) — гравитационная постоянная (\(G=6,67 \cdot 10^{-11}\) Н²·м²/кг²).

По закону Кулона указанные шары будут отталкиваться вследствие взаимодействия зарядов с силой \(F_{эл}\), которую можно определить по формуле:

\[{F_{эл}} = \frac{{k{q^2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности (\(k=9 \cdot 10^9\) Н²·м²/Кл²).

Заряд \(q\) равномерно распределяется по поверхности каждого шара, поэтому верно записать:

\[q = \sigma S\;\;\;\;(3)\]

Площадь поверхности шара \(S\) из математики можно найти по формуле:

\[S = 4\pi {r^2}\;\;\;\;(4)\]

Тогда формула (2) с учётом выражений (3) и (4) примет такой вид:

\[{F_{эл}} = \frac{{16k{\sigma ^2}{\pi ^2}{r^4}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(5)\]

По условию задачи «кулоновская сила отталкивания уравновешивается силой всемирного тяготения» (\(F_{эл} = F_{тяг}\)), поэтому приравняем (1) и (5):

\[\frac{{G{m^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{16k{\sigma ^2}{\pi ^2}{r^4}}}{{{R^2}}}\]

\[G{m^2} = 16k{\sigma ^2}{\pi ^2}{r^4}\]

Откуда искомая поверхностная плотность заряда \(\sigma\) равна:

\[\sigma = \frac{m}{{4\pi {r^2}}}\sqrt {\frac{G}{k}} \]

Переведём массу шаров и их радиус в систему СИ:

\[600\;г = 0,6\;кг\]

\[20\;см = 0,2\;м\]

Посчитаем численный ответ:

\[\sigma = \frac{{0,6}}{{4 \cdot 3,14 \cdot {{0,2}^2}}}\sqrt {\frac{{6,67 \cdot {{10}^{ — 11}}}}{{9 \cdot {{10}^9}}}} = 1,03 \cdot {10^{ — 10}}\;Кл/м^2\]

Ответ: 1,03·10^-10 Кл/м².

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.8 В атоме водорода электрон движется вокруг протона с угловой скоростью
6.1.10 Какое первоначальное ускорение получит капелька жидкости массой 1,6×10^(-5) г
6.1.11 Два точечных заряда 5 и 15 нКл находятся на расстоянии 4 см друг от друга