Решение: Два шарика массами 2 и 3 г движутся в горизонтальной плоскости со скоростями

Условие задачи:

Два шарика массами 2 и 3 г движутся в горизонтальной плоскости со скоростями 6 и 4 м/с, соответственно. Направления движения шариков составляют угол 90°. Шарики неупруго соударяются. Какое количество теплоты при этом выделяется?

Задача №2.10.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=2\) г, \(m_2=3\) г, \(\upsilon_1=6\) м/с, \(\upsilon_2=4\) м/с, \(Q-?\)

Решение задачи:

При любом ударе — упругом и неупругом — всегда можно применять закон сохранения импульса (ЗСИ). Запишем его в векторной форме:

\[\overrightarrow {{m_1}{\upsilon _1}} + \overrightarrow {{m_2}{\upsilon _2}} = \overrightarrow {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)u} \]

Так как между угол между векторами скоростей (а значит и импульсов) равен 90°, то применим теорему Пифагора, и получим такое равенство:

\[m_1^2\upsilon _1^2 + m_2^2\upsilon _2^2 = {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)^2}{u^2}\]

Выразим из него квадрат скорости \(u\) после удара, оно нам ещё пригодится:

\[{u^2} = \frac{{m_1^2\upsilon _1^2 + m_2^2\upsilon _2^2}}{{{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}^2}}}\;\;\;\;(1)\]

Также запишем закон сохранения энергии, при этом обязательно учтем, что часть энергии перейдёт в теплоту \(Q\):

\[\frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2} = \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right){u^2}}}{2} + Q\].

Оставив искомое количество теплоты \(Q\) в одной стороне, перенесем все остальные члены в другую.

\[Q = \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2} — \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right){u^2}}}{2}\]

Подставим в эту формулу выражение (1) и приведем всё под общий знаменатель.

\[Q = \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2} — \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{2} \cdot \frac{{m_1^2\upsilon _1^2 + m_2^2\upsilon _2^2}}{{{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}^2}}}\]

\[Q = \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2} — \frac{{m_1^2\upsilon _1^2 + m_2^2\upsilon _2^2}}{{2\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

\[Q = \frac{{{m_1}\upsilon _1^2\left( {{m_1} + {m_2}} \right) + {m_2}\upsilon _2^2\left( {{m_1} + {m_2}} \right) — m_1^2\upsilon _1^2 — m_2^2\upsilon _2^2}}{{2\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

\[Q = \frac{{m_1^2\upsilon _1^2 + {m_1}{m_2}\upsilon _1^2 + {m_1}{m_2}\upsilon _2^2 + m_2^2\upsilon _2^2 — m_1^2\upsilon _1^2 — m_2^2\upsilon _2^2}}{{2\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

\[Q = \frac{{{m_1}{m_2}\upsilon _1^2 + {m_1}{m_2}\upsilon _2^2}}{{2\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

После всех преобразований мы получили такую конечную формулу:

\[Q = \frac{{{m_1}{m_2}\left( {\upsilon _1^2 + \upsilon _2^2} \right)}}{{2\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

Переведем массы шариков в систему СИ:

\[2\; г = \frac{2}{{1000}}\; кг = 2 \cdot {10^{ — 3}}\; кг\]

\[3\; г = \frac{3}{{1000}}\; кг = 3 \cdot {10^{ — 3}}\; кг\]

Теперь посчитаем ответ к задаче:

\[Q = \frac{{2 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 3 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot \left( {{6^2} + {4^2}} \right)}}{{2\left( {2 \cdot {{10}^{ — 3}} + 3 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}} = 0,0312\; Дж = 31,2\; мДж\]