Решение: Два сосуда, содержащих одинаковую массу одного и того же газа, соединены трубкой

Условие задачи:

Два сосуда, содержащих одинаковую массу одного и того же газа, соединены трубкой с краном. В первом давлении 100 кПа, во втором — 300 кПа. Температура одинакова. Какое давление установится после открытия крана?

Задача №4.2.68 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m\), \(p_1=100\) кПа, \(p_2=300\) кПа, \(T\), \(p-?\)

Решение задачи:

Запишем три раза уравнение Клапейрона-Менделеева: для газов в сосудах до открытия крана и после:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}{V_1} = \frac{m}{M}RT \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_2}{V_2} = \frac{m}{M}RT \;\;\;\;(2)\hfill \\
p\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = \frac{{2m}}{M}RT \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из уравнений (1) и (2) следует, что:

\[{p_1}{V_1} = {p_2}{V_2}\]

\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}\;\;\;\;(4)\]

Также сложим уравнения (1) и (2), тогда получим:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \frac{{2m}}{M}RT\]

Так как равны правые части получившегося равенства и уравнения (3), то равны и левые, то есть:

\[p\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = {p_1}{V_1} + {p_2}{V_2}\]

Выразим давление \(p\):

\[p = \frac{{{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2}}}{{{V_1} + {V_2}}}\]

Поделим числитель и знаменатель дроби справа на \(V_2\), тогда:

\[p = \frac{{{p_1}\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} + {p_2}}}{{\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} + 1}}\]

Учитывая (4), получим: