Решение: Два вольтметра, подключенные последовательно к ненагруженной батарее, показывают

Условие задачи:

Два вольтметра, подключенные последовательно к ненагруженной батарее, показывают соответственно \(U_{11}=5\) В и \(U_{12}=15\) В. Если подключить к батарее только первый вольтметр, он покажет 19 В. Определить ЭДС батареи.

Задача №7.5.28 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U_{11}=5\) В, \(U_{12}=15\) В, \(U_2=19\) В, \(\rm E-?\)

Решение задачи:

В задаче рассмотрено два случая, схемы для которых приведены на рисунке. Очевидно, что в первом случае напряжение во внешней цепи равно сумме напряжений \(U_{11}\) и \(U_{12}\), то есть:

\[{U_1} = {U_{11}} + {U_{12}}\]

\[{U_1} = 5 + 15 = 20\;А\]

Должно быть понятно, что внутренние сопротивления вольтметров \(R_{v1}\) и \(R_{v2}\) различны, поскольку в противном случае напряжения \(U_{11}\) и \(U_{12}\) были бы равны. В первом случае через вольтметры, соединенные последовательно, течёт одинаковый ток, поэтому верно равенство:

\[\frac{{{U_{11}}}}{{{R_{v1}}}} = \frac{{{U_{12}}}}{{{R_{v2}}}}\]

Откуда имеем:

\[{R_{v2}} = {R_{v1}}\frac{{{U_{12}}}}{{{U_{11}}}}\]

Учитывая, что \(U_{11}=5\) В, а \(U_{12}=15\) В, получим:

\[{R_{v2}} = 3{R_{v2}}\]

Тогда в первом случае суммарное сопротивление двух вольтметров равно \(4R_{v1}\). Запишем закон Ома для полной цепи для двух случаев:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{4{R_{v1}} + r}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{{R_{v1}} + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда напряжения во внешней цепи \(U_1\) и \(U_2\) в обоих случаях можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = \frac{{{\rm E} \cdot 4{R_{v1}}}}{{4{R_{v1}} + r}} \;\;\;\;(1)\hfill \\
{U_2} = \frac{{{\rm E} \cdot {R_{v1}}}}{{{R_{v1}} + r}} \;\;\;\;(2)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим (1) на (2):

\[\frac{{{U_1}}}{{{U_2}}} = \frac{{4\left( {{R_{v1}} + r} \right)}}{{4{R_{v1}} + r}}\]

Учтем, что \(U_1=20\) В, а \(U_2=19\) В:

\[\frac{{20}}{{19}} = \frac{{4\left( {{R_{v1}} + r} \right)}}{{4{R_{v1}} + r}}\]

Перемножим «крест-накрест» и сразу же раскроем скобки:

\[80{R_{v1}} + 20r = 76{R_{v1}} + 76r\]

\[4{R_{v1}} = 56r\]

\[{R_{v1}} = 14r\]

Полученное выражение подставим в (2):

\[{U_2} = \frac{{{\rm E} \cdot 14r}}{{15r}}\]

\[{U_2} = \frac{{14{\rm E}}}{{15}}\]

Откуда окончательно получим: