Решение: Две одинаковые лампочки мощностью 50 Вт каждая, рассчитанные на напряжение 50 В

Условие задачи:

Две одинаковые лампочки мощностью 50 Вт каждая, рассчитанные на напряжение 10 В, соединены параллельно и присоединены к аккумулятору с внутренним сопротивлением 0,5 Ом. Одна из лампочек перегорела и ее заменили другой, рассчитанной на то же напряжение, но с мощностью 25 Вт. Во сколько раз при этом изменится КПД аккумулятора?

Задача №7.4.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(P_1=50\) Вт, \(U=10\) В, \(r=0,5\) Ом, \(P_2=25\) Вт, \(\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}}-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия аккумулятора (КПД) \(\eta\) можно определять по такой формуле:

\[\eta = \frac{R}{{R + r}}\]

Здесь \(R\) — сопротивление внешней цепи, а \(r\) — внутреннее сопротивление аккумулятора.

Если принять сопротивления внешней цепи равной \(R_{1}\) и \(R_{2}\) в двух описываемых случаях, то искомое отношение \(\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}}\) равно:

\[\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}} = \frac{{{R_2}\left( {{R_1} + r} \right)}}{{{R_1}\left( {{R_2} + r} \right)}}\]

Значит нам нужно определить сопротивление внешней цепи в обоих случаях, для этого нужно для начала определить сопротивления лампочек \(R_{01}\) и \(R_{02}\). Для этого запишем одну из формул для определения мощности:

\[P = \frac{{{U^2}}}{R}\]

Откуда сопротивление равно:

\[R = \frac{{{U^2}}}{P}\]

Таким образом, формулы для определения сопротивлений лампочек \(R_{01}\) и \(R_{02}\) выглядят так:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_{01}} = \frac{{{U^2}}}{{{P_1}}} \hfill \\
{R_{02}} = \frac{{{U^2}}}{{{P_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Нет особого смысла решать задачу в общем виде, поэтому произведем расчет прямо сейчас:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_{01}} = \frac{{{{10}^2}}}{{50}} = 2\;Ом \hfill \\
{R_{02}} = \frac{{{{10}^2}}}{{25}} = 4\;Ом \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

До перегорания одной из лампочек формула для определения сопротивления внешней цепи \(R_{1}\), очевидно, равна (так как две одинаковые лампочки соединены параллельно):

\[{R_1} = \frac{{{R_{01}}}}{2}\]

\[{R_1} = \frac{2}{2} = 1\;Ом\]

После замены одной из лампочек формула для определения сопротивления внешней цепи \(R_{2}\) станет уже такой:

\[{R_2} = \frac{{{R_{01}} \cdot {R_{02}}}}{{{R_{01}} + {R_{02}}}}\]

\[{R_2} = \frac{{2 \cdot 4}}{{2 + 4}} = \frac{4}{3}\;Ом\]

В итоге:

\[\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}} = \frac{{\frac{4}{3} \cdot \left( {1 + 0,5} \right)}}{{1 \cdot \left( {\frac{4}{3} + 0,5} \right)}} = 1,09\]