Условие задачи:
Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются с силой 4 мН. Шарики на малый промежуток времени соединили проволокой. После этого они стали отталкиваться с силой 2,25 мН, находясь на том же расстоянии. Определить отношение заряда первого шарика к заряду второго шарика.
Задача №6.1.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(R=0,2\) м, \(F_0=4\) мН, \(F=2,25\) мН, \(\frac{q_1}{q_2}-?\)
Решение задачи:
Так как сначала шарики притягивались, значит они изначально имели разноимённые заряды (например, первый имел отрицательный, а второй — положительный, хотя это и не важно). После соединения их проволокой они стали отталкиваться, значит в результате перераспределения зарядов на шариках оказались заряды одного знака (например, отрицательного, если заряд второго шарика был меньше модуля заряда первого).
Поскольку в законе Кулона фигурируют модули зарядов, то будем работать с ними. Пусть \(q_1\) — модуль заряда первого шарика, а \(q_2\) — модуль заряда второго шарика. В задаче нам нужно найти отношение модулей зарядов \(\frac{q_1}{q_2}\), потому что, итак, понятно, что отношение заряда первого шарика к заряду второго шарика будет отрицательным.
Согласно закону Кулона силу притяжения шариков \(F_0\) вследствие взаимодействия зарядов можно найти следующим образом:
\[{F_0} = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)\]
Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·109 Н·м2/Кл2.
После соединения шариков проволокой на каждом их них окажется одинаковый заряд \(q\), определяемый по формуле:
\[q = \frac{{ — {q_1} + {q_2}}}{2}\]
Внимание! Знак «минус» перед \(q_1\) появился из-за того, что \(q_1\) — это модуль заряда первого шарика, а мы условились, что этот заряд отрицательный!
Тогда силу отталкивания шариков \(F\) определим по формуле:
\[F = \frac{{k{q^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{k{{\left( {{q_2} — {q_1}} \right)}^2}}}{{4{R^2}}}\;\;\;\;(2)\]
Поделим (2) на (1), тогда получим:
\[\frac{{{{\left( {{q_2} — {q_1}} \right)}^2}}}{{4{q_1}{q_2}}} = \frac{F}{{{F_0}}}\]
Поделим числитель и знаменатель дроби в левой части на \(q_2^2\):
\[\frac{{{{\left( {1 — \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)}^2}}}{{4\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}}} = \frac{F}{{{F_0}}}\]
\[1 — 2\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + {\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} = 4\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}\frac{F}{{{F_0}}}\]
\[{\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} — \left( {2 + 4\frac{F}{{{F_0}}}} \right)\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + 1 = 0\]
Решим это квадратное уравнение относительно \(\frac{q_1}{q_2}\), для этого найдём дискриминант:
\[D = {\left( {2 + 4\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} — 4 = 4 + 16\frac{F}{{{F_0}}} + 16{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} — 4\]
\[D = 16{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} + 16\frac{F}{{{F_0}}} = 16\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)\]
Тогда:
\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{2 + 4\frac{F}{{{F_0}}} \pm \sqrt {16\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)} }}{2}\]
\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 1 + 2\frac{F}{{{F_0}}} \pm 2\sqrt {\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)} \]
Уже можно посчитать ответ:
\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 1 + 2\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ — 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ — 3}}}} \pm 2\sqrt {\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ — 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ — 3}}}}\left( {\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ — 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ — 3}}}} + 1} \right)} \]
\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 4 \hfill \\
\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 0,25 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Так как мы условились, что модуль заряда первого шарика был больше заряда второго, то второй корень не может являться решением задачи.
Ответ: 4.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
6.1.16 Два одинаковых шарика, заряженные одноименными зарядами и помещенные
6.1.18 Вокруг отрицательного точечного заряда -5 нКл равномерно вращается
6.1.19 Два заряда по 25 нКл каждый, расположенные на расстоянии 0,24 м друг от друга
![](/mark_r_img.png)