Условие задачи:

Два маленьких проводящих шарика подвешены на длинных непроводящих нитях к одному крючку. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии 5 см друг от друга. На каком расстоянии окажутся шарики, после того как один из них разрядить?

Задача №6.1.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=5\) см, \(L-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Так как шарики с зарядом \(q\) каждый сначала находятся на расстоянии \(l\) друг от друга, то силу отталкивания между ними \(F_0\) можно найти из закона Кулона по такой формуле:

\[{F_0} = \frac{{k{q^2}}}{{{l^2}}}\;\;\;\;(1)\]

Изначально каждый из шариков будет находиться в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести \(mg\), силы натяжения нити \(T_0\) и силы кулоновского отталкивания \(F_0\) (смотрите левую часть схемы к решению). Учитывая (1), запишем первый закон Ньютона в проекции на оси \(x\) и \(y\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_0} \cdot \cos \alpha = mg \hfill \\
{T_0} \cdot \sin \alpha = \frac{{k{q^2}}}{{{l^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство системы на верхнее, тогда получим:

\[tg\alpha = \frac{{k{q^2}}}{{mg{l^2}}}\;\;\;\;(2)\]

После того как один из шаров разрядят, между шарами исчезнет сила отталкивания, они придут в движении и, столкнувшись, разделят заряд \(q\) одного из шариков поровну (то есть теперь на каждом из шаров заряд равен \(\frac{q}{2}\)). Далее шары опять разойдутся так, что расстояние между ними станет равным \(L\) (смотрите правую часть схемы). Теперь сила отталкивания между шариками \(F\) по закону Кулона равна:

\[F = \frac{{k{q^2}}}{{4{L^2}}}\;\;\;\;(3)\]

Теперь на каждый шарик действуют три силы: сила тяжести \(mg\), сила натяжения нити \(T\) и сила кулоновского отталкивания \(F\). Шарики опять находятся в равновесии, поэтому, учитывая (3), опять запишем первый закон Ньютона в проекциях на оси координат:

\[\left\{ \begin{gathered}
T \cdot \cos \beta = mg \hfill \\
T \cdot \sin \beta = \frac{{k{q^2}}}{{4{L^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Аналогично поделим нижнее равенство на верхнее:

\[tg\beta = \frac{{k{q^2}}}{{4mg{L^2}}}\;\;\;\;(4)\]

Теперь поделим (2) на (4):

\[\frac{{tg\alpha }}{{tg\beta }} = \frac{{k{q^2} \cdot 4mg{L^2}}}{{mg{l^2} \cdot k{q^2}}}\]

\[\frac{{tg\alpha }}{{tg\beta }} = \frac{{4{L^2}}}{{{l^2}}}\]

В условии сказано, что шарики подвешены на длинных нитях, значит углы \(\alpha\) и \(\beta\) — малые, поэтому справедливо равенство \(\sin \alpha \approx tg \alpha\) и \(\sin \beta \approx tg\beta\). Тогда:

\[\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \beta }} = \frac{{4{L^2}}}{{{l^2}}}\]

Из рисунка понятно, что \(\sin \alpha = \frac{l}{2a}\) и \(\sin \beta = \frac{L}{2a}\) (здесь \(a\) — длина нити), значит:

\[\frac{{l \cdot 2a}}{{2a \cdot L}} = \frac{{4{L^2}}}{{{l^2}}}\]

\[\frac{l}{L} = \frac{{4{L^2}}}{{{l^2}}}\]

\[4{L^3} = {l^3}\]

\[L = \frac{l}{{\sqrt[3]{4}}}\]

Посчитаем ответ:

\[L = \frac{{0,05}}{{\sqrt[3]{4}}} = 0,031\;м\]

Ответ: 0,031 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.26 Два шарика массой по 1 г подвешены на нитях длиной 0,5 м в одной точке. После
6.1.28 Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые заряды 1,6 мкКл, подвешены на одной
6.1.29 Точечные положительные заряды q и 2q закреплены на расстоянии L друг от друга

Пожалуйста, поставьте оценку
( 10 оценок, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 12
  1. Аноним

    Я просто имею ввиду,что тогда получается на нитку будет действовать вес тела не только со стороны второго шарика но и со стороны первого и направлена она получается будет вверх.Так получается?

    1. Easyfizika (автор)

      Смотрите, я получил такие формулы для нахождения сил натяжения нити:
      T1=(m1+m2)*g
      T2=m2*g
      На верхнюю нить действуют оба груза, на нижнюю — только второй.
      Очевидно же, на верхней нити висят оба груза, на нижней — только нижний груз.

      Куда направлена сила натяжения нити я не могу Вам сказать, поскольку это внутренняя сила, и о ее направлении можно говорить лишь при «разрыве» связи.
      Пример, приведенный ниже:
      T1-m1*g-T2=0
      T2-m2*g=0
      На верхний груз сила T2 действует вниз, а на нижний — вверх.

      1. Аноним

        Хорошо, спасибо.

  2. Аноним

    У меня возник такой вопрос.Возьмем два шарика и свяжем их,а затем повесим на нитку.То есть получается на нитке держится шарик,а за этот шарик привязана другая нитка,на которой болтается другой шарик.Так вот,если рассматривать их со второго закона Ньютона,то второй шарик не зависит от первого?Получается:
    T1=m1g
    T2=m2g
    Или он будет как-то зависеть от него?Объясните пожалуйста.

    1. Easyfizika (автор)

      Если шарики покоятся или движутся равномерно прямолинейно вверх, то по первому закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
      T1-m1*g-T2=0
      T2-m2*g=0

      То есть:
      T2=m2*g
      T1=(m1+m2)*g

      Я не понимаю сути вопроса: что значит второй шарик не зависит от первого? Если вопрос про силы натяжения нитей, то я ответил на вопрос. Если нет — уточните, пожалуйста, вопрос.

      1. Аноним

        Да именно про силы натяжения нити. Почему мы должны в первом случае отнять?

        1. Аноним

          Силу натяжения второго

          1. Easyfizika (автор)

            Так получается при проецировании на вертикальную ось. Проще говоря — из-за того, что вектор T1 направлен вверх, а T2 — вниз.

            1. Аноним

              То есть вторая нить тянет шарик вниз?

            2. Easyfizika (автор)

              Да, Вы сомневаетесь? Если к Вам привязать снизу гирю, она Вас разве не к земле будет тянуть?

  3. Даниил

    Тангенс можно было не убирать — число а всё равно сокращается, поэтому за неё можно взять перпендикуляр к l или L

    1. Easyfizika (автор)

      По моему, если не производить перехода от тангенса к синусу, там a (длина нити) даже не появится

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: