Условие задачи:

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику тока. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в одном из них, если другой заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 4?

Задача №6.4.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varepsilon=4\), \(\frac{E_2}{E_1}-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Пусть диэлектрик вставляется в первый конденсатор, тогда нам необходимо найти изменение напряженности поля в втором.

Напряженность электрического поля в конденсаторе в общем случае определяется по формуле:

\[E = \frac{U}{d}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(U\) — напряжение между обкладками, а \(d\) — расстояние между ними. Так как расстояние между пластинами второго конденсатора не изменяется, то из формулы (1) видно, что нахождение отношения \(\frac{E_2}{E_1}\) сводится к нахождению отношения напряжений на втором конденсаторе \(\frac{U_2}{U_1}\), то есть:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\;\;\;\;(2)\]

Примем, что напряжение на источнике равно \(U\), и вначале конденсаторы имели одинаковую емкость \(C_0\). Запишем формулу электроемкости для общего случая и выразим из этой формулы заряд \(q\):

\[C = \frac{q}{U}\]

\[q = CU\;\;\;\;(3)\]

Известно, что при последовательном соединении конденсаторов заряд на их обкладках одинаковый. Если воспользоваться формулой (3) и учесть тот факт, что конденсаторы имеют одинаковую емкость \(C_0\), то станет понятно, что напряжение на конденсаторах — одинаковое и равно некоторому \(U_1\). Также известно, что общее напряжение равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов, поэтому:

\[U = {U_1} + {U_1}\]

\[U = 2{U_1}\]

\[{U_1} = \frac{U}{2}\;\;\;\;(4)\]

Далее в первый конденсатор вставляют диэлектрик, отчего его емкость увеличивается и становится равной:

\[{C_1} = \varepsilon {C_0}\;\;\;\;(5)\]

Если Вы не уверены в достоверности этой формулы, то можете записать формулу электроемкости плоского конденсатора и убедиться в ней.

Понятно, что напряжения на конденсаторах изменятся. Пусть теперь \(U_{11}\) — разность потенциалов между обкладками первого конденсатора, а \(U_2\) — разность потенциалов между обкладками второго. Проведя аналогичные рассуждения и пользуясь формулой (3), получим такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1}{U_{11}} = {C_0}{U_2} \hfill \\
U = {U_{11}} + {U_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего равенства системы выразим напряжение \(U_{11}\):

\[{U_{11}} = {U_2}\frac{{{C_0}}}{{{C_1}}}\]

Полученное выражение подставим в нижнее равенство системы:

\[U = {U_2}\frac{{{C_0}}}{{{C_1}}} + {U_2}\]

\[U = {U_2}\frac{{{C_0} + {C_1}}}{{{C_1}}}\]

\[{U_2} = \frac{{U{C_1}}}{{{C_0} + {C_1}}}\]

Принимая во внимание выражение (5), получим:

\[{U_2} = \frac{{\varepsilon U{C_0}}}{{{C_0} + \varepsilon {C_0}}}\]

\[{U_2} = \frac{{\varepsilon U}}{{\varepsilon + 1}}\;\;\;\;(6)\]

Осталось только подставить (4) и (6) в (2):

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{\varepsilon U}}{{\varepsilon + 1}} \cdot \frac{2}{U}\]

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{2\varepsilon }}{{\varepsilon + 1}}\]

Считаем ответ:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{2 \cdot 4}}{{4 + 1}} = 1,6\]

Ответ: увеличится в 1,6 раза.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.28 Два конденсатора электроемкостью 4 и 1 мкФ соединены последовательно и подключены
6.4.30 Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику
6.4.31 Бумага пробивается при напряженности поля 18 кВ/см. Два плоских конденсатора с изолятором

Пожалуйста, поставьте оценку
( 23 оценки, среднее 4.39 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 16
  1. Аноним

    В числителе не умножается на эбселент, решено неправильно

  2. Даша

    Ответ должен быть: уменьшится в 2,5 раза

  3. Георгий

    Можете объяснить, меняется ли как-то заряд после введения диэлектрика? У меня получаются несостыковки с формулой С1U11=C0U2. Если заряд не меняется, то С0U2=q, но C0U1 также равно q. Получается, что C0U2=C0U1? Но ведь это не так.

    1. Георгий

      Извините, не заметил комментарий ниже. Получается, что заряд при изменении напряжения будет «адаптироваться» под электроёмкость конденсатора (под формулу C=q/U), если электроёмкость постоянна?

      1. Easyfizika (автор)

        Да, все верно :smile:

        1. Георгий

          А что случилось бы с зарядом, если бы конденсаторы отключили от источника тока перед вводом диэлектрика? Напряжённость просто уменьшилась бы в ? раз?

          1. Easyfizika (автор)

            Да, заряд по обоих конденсаторах после отключения не изменялся бы. При этом из-за изменения электроемкости одного конденсатора, напряжение на нем уменьшилось в \(\varepsilon\) раз (напряженность, соответственно, изменилась бы также).

        2. Георгий

          Понятно, спасибо большое.

  4. Аноним

    ответ неверный. правильно будет 0,4. В числителе не нужно умножать на E

    1. Easyfizika (автор)

      Задача решена правильно. Я знаю, почему Вы считаете, что ответ неправильный — Вы смотрите решение этой задачи с другого сайта. Решавший её человек, напрочь забыл, что заряд, соединенных последовательно конденсаторов, должен быть одинаковым. Напряжение на конденсаторе, в который внесли диэлектрик, действительно уменьшится, но поскольку напряжение в сети постоянно и равно \(U\), то напряжение на первом конденсаторе тоже изменится, а значит изменится и его заряд! А заряды последовательно соединенных конденсаторов должен быть одинаковым, как я уже написал выше.
      :smile:

  5. Иван

    У вас неправильный итоговый ответ, так как вы находите почему то отношение напряженности конденсатора в который ничего не вносили…

    1. Easyfizika (автор)

      Всё правильно, читайте внимательно условие и вопрос задачи

  6. Аноним

    Ответьте пожалуйста, чем отличается U1 от U11?
    Ведь для не погруженного конденсатора это одно и то же.
    разве напряжение между обкладками первого конденсатора меняется после того как второй заполнили диэлектриком?
    Меняется,вроде,только общее напряжение. Поправьте меня,если я не прав

    1. Easyfizika (автор)

      Объясняю. Оба конденсатора подключены к источнику тока последовательно, значит сумма напряжений на них равна напряжению на источнике.
      В начала емкости у конденсаторов одинаковы, а так как при последовательном соединении на них должен быть одинаковый заряд, то и напряжения одинаковы (математическое доказательство приведено выше).
      Затем во второй вносят диэлектрик, т.е. увеличивают его емкость, но так как опять же заряды на конденсаторах должны оставаться одинаковыми, то напряжение на нем упадет. Из-за этого напряжение на первом конденсаторе увеличится, но сумма напряжений так и будет равно напряжению сети (но не меняется).

      1. Аноним

        Спасибо большое!

      2. Аноним

        Упустил тот момент,что источник тока не исчезает.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: