Решение: Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены

Условие задачи:

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику с постоянной ЭДС. Пространство между обкладками одного из конденсаторов заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon=3\). Во сколько раз изменится напряженность поля в этом конденсаторе.

Задача №6.4.64 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varepsilon=3\), \(\frac{E}{E_0}-?\)

Решение задачи:

Напряженность поля плоского конденсатора \(E\) и напряжение между его обкладками \(U\) связаны по такой формуле:

\[E = \frac{U}{d}\]

Так как расстояние между пластинами \(d\) в этой задаче не меняется, то поиск отношения \(\frac{E}{E_0}\) сведется к поиску отношения напряжений \(\frac{U}{U_0}\), то есть:

\[\frac{E}{{{E_0}}} = \frac{U}{{{U_0}}}\;\;\;\;(1)\]

Вначале, когда конденсаторы имели одинаковую электроемкость \(C_0\), напряжение на них было одинаковым и равным половине ЭДС источника \(\rm E\):

\[{U_0} = \frac{{\rm E}}{2}\;\;\;\;(2)\]

После того, как один из конденсаторов заполнят диэлектриком, напряжение на конденсаторах изменится, но заряд на конденсаторах всегда будет оставаться одинаковым (но не постоянным, учтите это!). Поэтому будет правильно записать:

\[{C_0}{U_1} = CU\]

Здесь \(U_1\) — конечное значения напряжения на первом конденсаторе (который остается воздушным), \(U\) — конечное значения напряжения на втором конденсаторе (в который вводится диэлектрик), \(C\) — конечное значение электроемкости второго конденсатора. Последнее можно найти по формуле:

\[C = \varepsilon {C_0}\]

Тогда:

\[{C_0}{U_1} = \varepsilon {C_0}U\]

\[{U_1} = \varepsilon U\;\;\;\;(3)\]

Очевидно, что сумма напряжений на конденсаторах есть ЭДС источника, поэтому:

\[{\rm E} = {U_1} + U\]

Учитывая (3), получим:

\[{\rm E} = \varepsilon U + U\]

\[{\rm E} = U\left( {\varepsilon + 1} \right)\]

\[U = \frac{{\rm E}}{{\varepsilon + 1}}\;\;\;\;(4)\]

А теперь подставим (2) и (4) в (1):

\[\frac{E}{{{E_0}}} = \frac{{{\rm E} \cdot 2}}{{\left( {\varepsilon + 1} \right) \cdot {\rm E}}}\]

\[\frac{E}{{{E_0}}} = \frac{2}{{\varepsilon + 1}}\]

Посчитаем ответ:

\[\frac{E}{{{E_0}}} = \frac{2}{{3 + 1}} = 0,5\]

Так как ответ получился менее 1, значит напряженность поля в конденсаторе уменьшится. Поэтому, чтобы найти во сколько раз оно уменьшится, правильнее находить отношение \(\frac{E_0}{E}\):

\[\frac{{{E_0}}}{E} = \frac{{\varepsilon + 1}}{2}\]

\[\frac{{{E_0}}}{E} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\]

Таким образом, мы выяснили, что напряженность поля уменьшится в 2 раза.

Обратите Ваше внимание, что ответ не совпал с ответом в указанном сборнике задач. Там указан ответ для случая, если бы требовалось найти изменение напряжения на первом конденсаторе.