Два одинаковых шарика, заряженные одноименными зарядами и помещенные

Условие задачи:

Два одинаковых шарика, заряженные одноименными зарядами и помещенные на некотором расстоянии друг от друга, отталкиваются с некоторой силой. Их приводят в соприкосновение, затем удаляют на расстояние, вдвое меньше прежнего. При этом сила их взаимного отталкивания становится в 4,5 раза больше предыдущей. Найти отношение первоначальных зарядов шариков.

Задача №6.1.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=\frac{R_0}{2}\), \(\frac{F}{F_0}=4,5\), \(\frac{q_1}{q_2}-?\)

Решение задачи:

Пусть изначально шарики имеют заряды \(q_1\) и \(q_2\) и находятся на расстоянии \(R_0\) друг от друга. Условимся, что заряд \(q_1\) больше заряда \(q_2\) (\({q_1} > {q_2}\)). Тогда сила взаимодействия между ними \(F_0\) по закону Кулона равна:

\[{F_0} = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{{R_0^2}}\]

После соприкосновения шариков заряд распределится между ними и на обоих шарах станет равным \(q\). Величину этого заряда можно найти так:

\[q = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{2}\]

Учитывая, что и расстояние после соприкосновения изменится и станет равным \(R\) (по условию \(R=\frac{R_0}{2}\)), то сила Кулона \(F\) станет такой:

\[F = \frac{{k{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{4k{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{4R_0^2}}\]

\[F = \frac{{k{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{R_0^2}}\]

По условию \(\frac{F}{F_0}=4,5\), поэтому:

\[\frac{{{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{{q_1}{q_2}}} = 4,5\]

Тогда:

\[{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)^2} = 4,5{q_1}{q_2}\]

Раскроем квадрат суммы в левой части уравнения:

\[q_1^2 + 2{q_1}{q_2} + q_2^2 = 4,5{q_1}{q_2}\]

\[q_1^2 – 2,5{q_1}{q_2} + q_2^2 = 0\]

Поскольку нужно найти отношение зарядов \(\frac{q_1}{q_2}\), разделим обе части уравнения на \({q_2}^2\):

\[{\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} – 2,5\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + 1 = 0\]

Решим это квадратное уравнение, для чего определим дискриминант:

\[D = {2,5^2} – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2,25 = {1,5^2}\]

\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{2,5 \pm 1,5}}{2}\]

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 2 \hfill \\
\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 0,5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как мы считаем, что \({q_1} > {q_2}\), то второй корень нам не подходит.

Ответ: 2.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.15 Каждый из двух маленьких шариков положительно заряжен так, что их общий заряд
6.1.17 Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются
6.1.18 Вокруг отрицательного точечного заряда -5 нКл равномерно вращается