Решение: Два удаленных друг от друга одинаковых шара емкостью 4,7 мкФ каждый, заряжены

Условие задачи:

Два удаленных друг от друга одинаковых шара емкостью 4,7 мкФ каждый, заряжены до потенциалов +1000 В и -1000 В. Определить энергию, которая выделится в проводнике при соединении шаров.

Задача №6.4.52 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C=4,7\) мкФ, \(\varphi_1=1000\) В, \(\varphi_2=-1000\) В, \(Q-?\)

Решение задачи:

По закону сохранения энергии искомое количество теплоты \(Q\), выделившееся при соединении шаров, равно разности начальной \(W_1\) и конечной \(W_2\) энергии шаров, при этом не учитывается энергия взаимодействия зарядов шаров, поскольку по условии они достаточно удалены друг от друга. Поэтому:

\[Q = {W_1} — {W_2}\;\;\;\;(1)\]

Суммарную начальную энергию заряженных шаров легко найти по такой формуле:

\[{W_1} = \frac{{C\varphi _1^2}}{2} + \frac{{C\varphi _2^2}}{2}\]

\[{W_1} = \frac{{C\left( {\varphi _1^2 + \varphi _2^2} \right)}}{2}\;\;\;\;(2)\]

Отлично, теперь покажем, что энергия шаров после соединения станет равной нулю, поскольку заряд каждого шара станет равным нулю. Понятно, что потенциал шаров после соединения их проводником станет одинаковым, а поскольку их электроемкости равны, значит станет одинаковым и их заряд, обозначим его \(q\). Пусть \(q_{01}\) и \(q_{02}\) — начальные заряды первого и второго шара соответственно. Согласно закону сохранения заряда должно выполняться следующее равенство:

\[{q_{01}} + {q_{02}} = q + q\]

\[{q_{01}} + {q_{02}} = 2q\]

Начальные заряды шаров \(q_{01}\) и \(q_{02}\) можно найти по таким формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{q_{01}} = C{\varphi _1} \hfill \\
{q_{02}} = C{\varphi _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[C{\varphi _1} + C{\varphi _2} = 2q\]

\[q = \frac{{C\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}{2}\]

Так как по условию \(\varphi_1=1000\) В и \(\varphi_2=-1000\), то видно, что числитель обратится в нуль, поэтому конечный заряд обоих шаров \(q\) после их соединения равен нулю, а значит равна нулю и их конечная энергия \(W_2\).

\[{W_2} = 0\;\;\;\;(3)\]

Учитывая (2) и (3), формула (1) примет такой вид:

\[Q = \frac{{C\left( {\varphi _1^2 + \varphi _2^2} \right)}}{2}\]

Задача решена в общем, подставим в конечную формулу численные данные задачи и посчитаем ответ:

\[Q = \frac{{4,7 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot \left( {{{1000}^2} + {{\left( { — 1000} \right)}^2}} \right)}}{2} = 4,7\;Дж\]