Условие задачи:
Какую работу необходимо совершить, чтобы три одинаковых точечных положительных заряда \(q\), находящихся в вакууме вдоль одной прямой на расстоянии \(a\) друг от друга, расположить в вершинах равностороннего треугольника со стороной \(a/2\)?
Задача №6.3.61 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(q\), \(a\), \(a/2\), \(A-?\)
Решение задачи:
Известно, что работу можно найти как изменение полной энергии системы из трёх точечных зарядов. Поскольку эти три заряда в начале и в конце будут покоиться (то есть не будут иметь скорости, а значит и кинетической энергии), то нахождение искомой работы \(A\) сводится к нахождению изменения потенциальной энергии системы \(\Delta {W_п}\) из трёх зарядов.
\[A = \Delta {W_п}\]
\[A = {W_2} — {W_1}\;\;\;\;(1)\]
В общем случае потенциальную энергию взаимодействия пары зарядов можно найти по формуле:
\[W = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{l}\]
Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·109 Н·м2/Кл2, \(q_1\) и \(q_2\) — величины зарядов, \(l\) — расстояние между зарядами. Если зарядов несколько, то нужно сложить потенциальные энергии всех пар зарядов. Например, в случае трёх зарядов таких пар будет три.
Потенциальную энергию \(W_2\) взаимодействия трёх зарядов \(q\), находящихся в вершинах равностороннего треугольника со стороной \(a/2\), можно найти по такой формуле, поскольку в данном случае имеются три пары зарядов \(q\), находящихся на расстоянии \(a/2\) друг от друга:
\[{W_2} = 3 \cdot \frac{{k{q^2}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{6k{q^2}}}{a}\;\;\;\;(2)\]
В случае трёх одинаковых точечных положительных зарядов \(q\), находящихся в вакууме вдоль одной прямой на расстоянии \(a\) друг от друга, будем иметь две пары зарядов \(q\), находящихся на расстоянии \(a\) друг от друга (1-2 и 2-3 на рисунке), и одну пару зарядов \(q\), находящихся на расстоянии \(2a\) (пара 1-3 на рисунке). Поэтому потенциальную энергию \(W_1\) следует искать по формуле:
\[{W_1} = 2 \cdot \frac{{k{q^2}}}{a} + \frac{{k{q^2}}}{{2a}} = \frac{{5k{q^2}}}{{2a}}\;\;\;\;(3)\]
Подставим (2) и (3) в (1), тогда получим:
\[A = \frac{{6k{q^2}}}{a} — \frac{{5k{q^2}}}{{2a}}\]
\[A = \frac{{7k{q^2}}}{{2a}}\]
Учитывая то, что \(k = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\), окончательно имеем:
\[A = \frac{{7{q^2}}}{{8\pi {\varepsilon _0}a}}\]
Ответ: \(\frac{{7{q^2}}}{{8\pi {\varepsilon _0}a}}\).
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
6.3.60 По тонкому проволочному кольцу радиуса 3 см равномерно распределен заряд 10^(-9) Кл
6.3.62 В центре закрепленной полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной
6.3.63 В центре закрепленной полусферы радиуса R, заряженной равномерно
![](/mark_r_img.png)
А что если поставить вопрос задачи в обратном порядке? То есть из треугольника со стороной 2а выстроить линию с таким же расстоянием между зарядами? Какую работу нужно совершить?
Ответили ниже. Элементарно поменять местами было W2-W1 стало W1-W2 отрицательно потому что потенциальная система уменьшилась.
освобождаем три одинаковых заряда… какова скорость в бесконечности? какое расположение этих зарядов?
Скорость ещё зависит от начального взаимного расположения этих зарядов. Если Вы мне скажите, как он расположены, то я отвечу на Ваш вопрос![:smile:](https://icodepro.ru/wp-content/themes/root/images/smilies/smile.png)
у меня идентичная задача, только из треугольника растаскивают в прямую.В ответе получился минус, объясните почему?
Так и должно быть. Значит, энергия системы в конце меньше, чем в начале. В принципе никакой внешней работы в таком случае совершать и не нужно, система сама будет пытаться перейти в состояние с меньшей энергией. Но чтобы эти заряды выстроились в прямую, необходимо их соединить, например, нитью, иначе заряды разбегутся![:smile:](https://icodepro.ru/wp-content/themes/root/images/smilies/smile.png)
а если один из зарядов отрицательный?
Задача вообще не усложняется.
Просто в формуле $$W = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{l}$$ учитывайте знаки соответствующих зарядов.
Во сколько раз потенциальная электростатическая энергия системы (рис. 4.46) трех
положительных зарядов q, расположенных
вдоль одной прямой на расстоянии а друг от
друга, больше потенциальной энергии системы
двух таких же зарядов на том же расстоянии
друг от друга?