Решение: Конденсатор, заряженный до разности потенциалов 20 В, соединили параллельно разноименными

Условие задачи:

Конденсатор, заряженный до разности потенциалов 20 В, соединили параллельно разноименными обкладками с заряженным до разности потенциалов 40 В вторым конденсатором электроемкостью 33 мкФ. После соединения напряжение на обкладках стало 2 В. Определить электроемкость первого конденсатора, если заряд на нем был больше, чем на втором.

Задача №6.4.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U_1=20\) В, \(U_2=40\) В, \(C_2=33\) мкФ, \(U=2\) В, \(q_{10} > q_{20}\), \(C_1-?\)

Решение задачи:

Понятно, что при соединении обкладок конденсаторов заряд между ними будет каким-то образом перераспределяться, но при этом обязательно будет выполняться закон сохранения заряда, который мы сейчас и запишем:

\[{q_{10}} — {q_{20}} = {q_1} + {q_2}\]

Здесь \(q_{10}\) и \(q_{20}\) — модули начальных зарядов конденсаторов, а \(q_1\) и \(q_2\) — модули конечных зарядов. Мы условно рассмотрели соединение положительной обкладки первого конденсатора и отрицательной обкладки второго — именно поэтому перед \(q_{20}\) присутствует знак «минус». Поскольку по условию \(q_{10} > q_{20}\), поэтому заряды \(q_1\) и \(q_2\) будут положительными (на рассматриваемых обкладках).

Заряд конденсатора можно найти как произведение электроемкости конденсатора на напряжение, поэтому вышеприведенное равенство можно записать в виде:

\[{C_1}{U_1} — {C_2}{U_2} = {C_1}U + {C_2}U\]

Все члены с искомой емкостью \(C_1\) перенесем в левую часть равенства, а остальные — в правую:

\[{C_1}{U_1} — {C_1}U = {C_2}U + {C_2}{U_2}\]

\[{C_1}\left( {{U_1} — U} \right) = {C_2}\left( {U + {U_2}} \right)\]

Откуда имеем:

\[{C_1} = \frac{{{C_2}\left( {U + {U_2}} \right)}}{{{U_1} — U}}\]

Произведем расчет численного ответа:

\[{C_1} = \frac{{33 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot \left( {2 + 40} \right)}}{{20 — 2}} = 77 \cdot {10^{ — 6}}\;Ф = 77\;мкФ\]