Решение: Плоский воздушный конденсатор погрузили в воду так, что над водой находится девятая

Условие задачи:

Плоский воздушный конденсатор погрузили в воду так, что над водой находится девятая часть площади поверхности пластин. Во сколько раз изменилась его электроемкость?

Задача №6.4.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S_1=\frac{1}{9}S\), \(\varepsilon=81\), \(\frac{C}{C_0}-?\)

Решение задачи:

Если площадь пластин конденсатора равна \(S\), а расстояние между ними — \(d\), то начальную электроемкость конденсатора \(C_0\) возможно определить так:

\[{C_0} = \frac{{{\varepsilon _0}S}}{d}\;\;\;\;(1)\]

Когда конденсатор погрузят в воду, его электроемкость \(C\) будет равна электроемкости двух соединенных параллельно конденсаторов с емкостями \(C_1\) и \(C_2\). Известно, что при параллельном соединении емкости конденсаторов складываются, поэтому:

\[C = {C_1} + {C_2}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(C_1\) — емкость воздушного конденсатора с площадью обкладок \(S_1\), \(C_2\) — емкость конденсатора с площадью обкладок \(\left( {S — {S_1}} \right)\), у которого в пространстве между обкладками находится вода (\(\varepsilon=81\)). Поэтому:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _0}{S_1}}}{d} \hfill \\
{C_2} = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}\left( {S — {S_1}} \right)}}{d} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

По условию \(S_1=\frac{1}{9}S\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _0}S}}{{9d}} \hfill \\
{C_2} = \frac{{8\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{{9d}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим эти выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в формулу (2):

\[C = \frac{{{\varepsilon _0}S}}{{9d}} + \frac{{8\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{{9d}}\]

\[C = \frac{{\left( {1 + 8\varepsilon } \right){\varepsilon _0}S}}{{9d}}\;\;\;\;(3)\]

Поделим (3) на (1):

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{{\left( {1 + 8\varepsilon } \right){\varepsilon _0}S \cdot d}}{{9d \cdot {\varepsilon _0}S}}\]

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{{1 + 8\varepsilon }}{9}\]

Посчитаем ответ:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{{1 + 8 \cdot 81}}{9} = 72,1\]

Электроемкость конденсатора увеличится в 72,1 раза.