Условие задачи:
Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух одинаковых капелек. Определить, до какого потенциала были заряжены мелкие капельки?
Задача №6.4.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\varphi=2,5\) В, \(N=2\), \(\varphi_0-?\)
Решение задачи:
Пусть \(q_0\) — заряд маленьких капель, \(q\) — заряд большой капли, которая получилась при слиянии маленьких, \(C_0\) и \(C\) — электроемкости маленьких и большой капель соответственно. Запишем формулы для определения потенциалов большой \(\varphi\) и маленьких \(\varphi_0\) капель через заряды и электроемкости:
\[\left\{ \begin{gathered}
\varphi = \frac{q}{C} \hfill \\
{\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда:
\[\frac{{{\varphi _0}}}{\varphi } = \frac{{{q_0} \cdot C}}{{q \cdot {C_0}}}\]
\[{\varphi _0} = \varphi \frac{{{q_0} \cdot C}}{{q \cdot {C_0}}}\;\;\;(1)\]
Понятно, что объем большой капли \(V\) равен сумме объемов \(V_0\) двух маленьких капелек. Поэтому имеет место равенство (по условию \(N=2\)):
\[V = N{V_0}\;\;\;(2)\]
Пусть радиус большой капли равен \(R\), радиус маленьких капелек — \(r\), тогда, вспомнив формулу из математики для определения объема шара, можно записать формулу (2) в следующем виде:
\[\frac{4}{3}\pi {R^3} = N \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3}\]
\[{R^3} = N{r^3}\]
Откуда:
\[\frac{R}{r} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(3)\]
Запишем формулы для определения электроемкостей большой \(C\) и маленьких \(C_0\) капель:
\[\left\{ \begin{gathered}
C = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\
{C_0} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим верхнее равенство на нижнее:
\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{R}{r}\]
Если учесть ранее полученное (3), имеем:
\[\frac{C}{{{C_0}}} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(4)\]
Из закона сохранения заряда следует, что между зарядом большой капли \(q\) и зарядами \(q_0\) маленьких капель в количестве \(N\) штук существует соотношение:
\[q = N{q_0}\]
\[\frac{{{q_0}}}{q} = \frac{1}{N}\;\;\;(5)\]
Подставим в формулу (1) выражения (4) и (5):
\[{\varphi _0} = \varphi \frac{{{N^{\frac{1}{3}}}}}{N}\]
\[{\varphi _0} = \varphi {N^{ — \frac{2}{3}}}\]
Мы получили решение задачи в общем виде. Посчитаем ответ:
\[{\varphi _0} = 2,5 \cdot {2^{ — \frac{2}{3}}} = 1,57\;В\]
Ответ: 1,57 В.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
6.4.7 Шар радиусом 15 см, заряженный до потенциала 300 В, соединяют проволокой
6.4.9 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 100 см2 каждая
6.4.10 Определить площадь пластин плоского воздушного конденсатора электроемкостью 1 мкФ
![](/mark_r_img.png)