Условие задачи:

К потолку лифта на нити длиной 40 см прикреплен шар массой 800 г, который вращается с частотой 90 об/мин вокруг вертикальной оси. Найти угол наклона нити к вертикали, когда лифт движется вверх с ускорением \(a=3\) м/с².

Задача №2.4.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=40\) см, \(m=800\) г, \(\nu=90\) об/мин, \(a=3\) м/с², \(\alpha-?\)

Решение задачи:

На схеме покажем шар, все силы, действующие на него и геометрические параметры задачи. Во-первых, шарик движется с ускорением \(a\) вверх вместе с лифтом, во-вторых, он движется равномерно по окружности некоторого радиуса \(R\). Запишем два раза второй закон Ньютона в проекции на оси координат:

\[\left\{ \begin{gathered}
T \cdot \cos \alpha — mg = ma \hfill \\
T \cdot \sin \alpha = m{a_ц} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Выразим центростремительное ускорение шарика \(a_ц\) через частоту вращения \(\nu\), данную в условии. Для этого нам необходимы следующие две формулы:

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[\omega  = 2\pi \nu \]

Таким образом, получим такую формулу:

\[{a_ц} = 4{\pi ^2}{\nu ^2}R\]

Если подставить полученное выражение во второе равенство системы, а первое переписать в другом виде, то получим:

\[\left\{ \begin{gathered}
T \cdot \cos \alpha = m\left( {a + g} \right) \hfill \\
T \cdot \sin \alpha = 4{\pi ^2}{\nu ^2}mR \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда:

\[tg\alpha  = \frac{{4{\pi ^2}{\nu ^2}R}}{{a + g}}\]

Теперь обратимся к схеме. Очевидно, что:

\[tg\alpha  = \frac{R}{h} = \frac{R}{{l \cdot \cos \alpha }}\]

\[\frac{R}{{l \cdot \cos \alpha }} = \frac{{4{\pi ^2}{\nu ^2}R}}{{a + g}}\]

\[\frac{1}{{l \cdot \cos \alpha }} = \frac{{4{\pi ^2}{\nu ^2}}}{{a + g}}\]

\[\alpha  = \arccos \left( {\frac{{a + g}}{{4{\pi ^2}{\nu ^2}l}}} \right)\]

Переведем длину нити и частоту вращения в единицы системы СИ.

\[40\; см = \frac{{40}}{{100}}\; м = 0,4\; м\]

\[90\; об/мин = \frac{{90}}{{60}}\; Гц = 1,5\; Гц\]

Теперь посчитаем ответ:

\[\alpha  = \arccos \left( {\frac{{3 + 10}}{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{1,5}^2} \cdot 0,4}}} \right) = 68,5^\circ \]

Обратите внимание, что угол наклона нити не зависит от массы шарика.

Ответ: 68,5°.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.4.28 Тело массой 4 кг вращают в вертикальной плоскости с помощью резинового шнура
2.4.30 Какова должна быть максимальная длина выпуклого симметричного относительно
2.4.31 Маленький шарик, подвешенный на нити, движется по окружности так, что нить