Решение: Каково главное фокусное расстояние линзы, если для получения изображения

Условие задачи:

Каково главное фокусное расстояние линзы, если для получения изображения какого-нибудь предмета в натуральную величину предмет этот должен быть помещен на расстоянии 20 см от линзы?

Задача №10.5.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\Gamma = 1$ , $d=20$ см, $F-?$

Решение задачи:

Собирающая линза может получить изображение предмета в натуральную величину только для действительного изображения, поэтому предмет должен находиться левее переднего фокуса линзы, то есть ${d} > {F}$ .

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)$

В этой формуле $F$ — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, $d$ — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), $f$ — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ определяют по следующей формуле (она выводится из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам):

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Тогда:

$f = \Gamma d\;\;\;\;(2)$

Выражение (2) подставим в формулу (1):

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{\Gamma d}}$