Решение: Катушка сопротивлением 100 Ом, состоящая из 1000 витков площадью 5 см2 каждый

Условие задачи:

Катушка сопротивлением 100 Ом, состоящая из 1000 витков площадью 5 см² каждый, внесена в однородное магнитное поле. В течение некоторого времени магнитное поле уменьшилось от 0,8 до 0,3 Тл. Какой заряд индуцирован в проводнике за это время?

Задача №8.4.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=100\) Ом, \(N=1000\), \(S=5\) см², \(B_1=0,8\) Тл, \(B_2=0,3\) Тл, \(q-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если учесть, что катушка имеет \(N\) витков, то формула (1) примет следующий вид:

\[\Phi = NBS\cos \alpha \]

Примем, что плоскость каждого витка катушки перпендикулярна вектору магнитной индукции, то есть угол \(\alpha\) равен 90°, поскольку иного не сказано в условии. Запишем формулы для определения начального \(\Phi_1\) и конечного \(\Phi_2\) значений магнитного потока:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = N{B_1}S \hfill \\
{\Phi _2} = N{B_2}S \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда очевидно, что изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно:

\[\Delta \Phi = NS\left( {{B_1} — {B_2}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (2):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{NS\left( {{B_1} — {B_2}} \right)}}{{\Delta t}}\;\;\;\;(3)\]

С другой стороны, из закона Ома следует, что:

\[{{\rm E}_i} = IR\;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в катушке, \(R\) — сопротивление катушки.

Приравняем (3) и (4), тогда:

\[\frac{{NS\left( {{B_1} — {B_2}} \right)}}{{\Delta t}} = IR\]

Домножим обе части уравнения на время \(\Delta t\):

\[NS\left( {{B_1} — {B_2}} \right) = I\Delta tR\]

Произведение силы тока \(I\) на время \(\Delta t\) даёт искомый протекший через рамку заряд \(q\), значит:

\[NS\left( {{B_1} — {B_2}} \right) = qR\]