Условие задачи:

Каждый из двух маленьких шариков положительно заряжен так, что их общий заряд 50 мкКл. Как распределен этот заряд между ними, если они, находясь на расстоянии 2 м друг от друга, отталкиваются с силой 1 Н?

Задача №6.1.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\({q_1} > 0\), \({q_2} >0\), \(q=50\) мкКл, \(R=2\) м, \(F=1\) Н, \(q_1-?\), \(q_2-?\), \(\frac{q_1}{q_2}-?\)

Решение задачи:

Пусть один из шариков имеет заряд \({q_1}\) больший чем у другого. Так как по условию сумма их зарядов равна \(q\), то заряд другого шарика \({q_2}\) можно найти по формуле:

\[{q_2} = q — {q_1}\;\;\;\;(1)\]

Согласно закону Ньютона сила взаимодействия между зарядами прямо пропорциональна абсолютной величине этих зарядов \({q_1}\) и \({q_2}\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними \(R\), поэтому:

\[F = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл². Принимая во внимание выражение (1), получим:

\[F = \frac{{k{q_1}\left( {q — {q_1}} \right)}}{{{R^2}}}\]

Тогда:

\[kq{q_1} — kq_1^2 = F{R^2}\]

\[kq_1^2 — kq{q_1} + F{R^2} = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно \({q_1}\), для этого найдём дискриминант:

\[D = {k^2}{q^2} — 4kF{R^2}\]

Легко оценить (читатель может проверить это самостоятельно), что дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:

\[{q_1} = \frac{{kq \pm \sqrt {{k^2}{q^2} — 4kF{R^2}} }}{{2k}}\]

\[{q_1} = \frac{q}{2} \pm \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} — \frac{{F{R^2}}}{k}} \]

В принципе уже можно посчитать ответ:

\[{q_1} = \frac{{50 \cdot {{10}^{ — 6}}}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{{50}^2} \cdot {{10}^{ — 12}}}}{4} — \frac{{1 \cdot {2^2}}}{{9 \cdot {{10}^9}}}} \]

\[\left[ \begin{gathered}
{q_1} = 38,4\;мкКл\hfill \\
{q_1} = 11,6\;мкКл \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Согласно формуле (1) также имеем:

\[\left[ \begin{gathered}
{q_2} = 50 — 38,4 = 11,6 \;мкКл\hfill \\
{q_1} = 50 — 11,6 = 38,4 \;мкКл\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как мы условились, что заряд \(q_1\) больше заряда \(q_2\), то пару \(q_1=11,6\) мкКл и \(q_2=38,4\) мкКл можно вычеркнуть.

Также отношение зарядов \(\frac{q_1}{q_2}\) равно:

\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{38,4}}{{11,6}} = 3,31\]

Ответ: 38,4 мкКл; 11,6 мкКл; 3,31.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.14 Во сколько раз изменится сила кулоновского притяжения двух маленьких шариков
6.1.16 Два одинаковых шарика, заряженные одноименными зарядами и помещенные
6.1.17 Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются